A resposta de Evgeni Leshtanski me mostrou o que realmente estava acontecendo. A pergunta não é: "Como digo a algum prompt aleatório qual é a minha senha?" mas sim: "O que está acontecendo?"
No meu caso - e isso provavelmente afeta muitas pessoas - o culpado subjacente foi a empatia. Como não uso o Empathy, não quero que ele seja autenticado no Google Talk em meu nome. Agora aqui é onde fica interessante. Quando segui o exemplo da Evgeni e geri as Contas Online (em Configurações do sistema), ele ficou completamente despovoado. Isso ocorre porque ele é preenchido automaticamente quando os aplicativos conectados às Contas Online atualizam as credenciais. Como nunca preenchi a caixa de diálogo Prompt de Acesso, isso nunca aconteceu e não tive nada para alterar.
A principal ação que está liderando esse comportamento na inicialização é que o Empathy padroniza como "Conectar automaticamente na inicialização", mesmo que você não o use. Portanto, execute o Empathy, vá para Preferências e, na guia Geral, desmarque a opção "Conectar automaticamente na inicialização".
No meu caso específico, eu também tive que impedir o Evolution de verificar minha conta do Gmail antes que essa caixa de diálogo desaparecesse completamente.