Cron é executado em um ambiente que não sabe nada sobre o gerenciador de exibição ( $DISPLAY
não está definido). Sua janela do terminal em que você está testando possui esse conjunto para isso. Se você o experimentasse em um terminal "real" ou através de SSH, você o veria quebrar.
Se você tiver apenas um servidor X em execução, basta especificar a exibição:
* * * * * DISPLAY=:0 firefox ...
Você provavelmente poderia se esforçar mais para descobrir qual é a tela em que está, em vez de supor que está, :0
mas que provavelmente funcionará na maioria das vezes.
Se você só precisa recarregar muito, consulte Tab Auto Reload ou plugins semelhantes do Firefox.