Respostas:
@rob está certo. O GNOME é tecnicamente um projeto oficial do GNU. No entanto, há muita história interessante.
É 1996. Não há ambientes de desktop. Usuários e administradores de sistemas montam ambientes a partir de uma mistura de programas. Gerenciadores de janelas diferentes, aplicativos diferentes, talvez um dock. Existem dois kits de ferramentas principais no mercado: Qt e GTK +. O Qt já existe há algum tempo e era um produto comercial de uma empresa chamada Trolltech. O GTK + também já existe há um bom tempo. Foi pouco associado ao FSF, pois foi originalmente escrito para uso no GIMP. Havia mais kits de ferramentas, como (por exemplo) Motif, mas para os propósitos desta discussão, não nos importamos com eles.
O Kool Desktop Environment, também conhecido como KDE, foi criado em outubro daquele ano em resposta ao fato de que não havia um ambiente de desktop unificado para sistemas UNIX. (O projeto KDE rapidamente abandonou o "Kool" em favor de apenas um "K" indefinido. Foi claramente uma boa escolha.) O criador do KDE, Matthias Ettrich, escolheu usar o Qt em sua nova área de trabalho. Este foi um grande problema para a comunidade de software livre. Isso significava que, para usar a incrível área de trabalho gratuita que Matthias havia criado, eles precisariam instalar um software proprietário - Qt.
A FSF respondeu com não um, mas dois projetos, ambos trabalhando em paralelo, para o caso de um não dar certo. O primeiro foi um projeto chamado Harmony. O Harmony foi projetado para ser um clone de software livre, compatível com API e LGPL, LGPL. A idéia era que a comunidade manteria o KDE, simplesmente substituindo o bit proprietário.
O projeto Harmony nunca deu certo. O desenvolvimento durou cerca de 4 anos antes que o Qt fosse relicenciado em 2000 para ser um software totalmente gratuito (conforme definido pela FSF), eliminando assim a motivação original para o Harmony. Devido ao relicenciamento e ao sucesso do segundo projeto, o Harmony foi abandonado.
Aposto que você adivinhou qual era o segundo projeto até agora. Foi o GNOME.
Eu contei a história acima. Agora vamos amarrar tudo juntos em um belo nó.
Portanto, para responder sua pergunta: sim, existe um relacionamento entre o GNU e o GNOME. O GNOME é o ambiente de desktop oficial do projeto GNU e, portanto, é um projeto oficial do GNU e parte do sistema operacional GNU. Historicamente, ele foi criado pelo GNU em resposta à dependência do KDE no Qt. De fato, o G no GNOME significa GNU. O acrônimo completo se expande para o GNU Network Object Model Environment - refere-se a uma tecnologia que foi planejada, mas nunca implementada, pois o projeto decidiu que "não se encaixava na visão central do GNOME".
Dito isto, o GNOME é um grande projeto agora. Atualmente, o GTK + é mantido pelo pessoal do GNOME, por exemplo, em vez de ser um projeto independente. É seguro dizer que o GNOME como entidade é independente do GNU, mesmo que eles sejam históricos e tecnicamente relacionados. O GNOME tem sua própria infraestrutura; comunidade própria; seus próprios processos de governança.
Como nota lateral, é também por isso que o GNOME e o KDE são rivais (amigáveis) hoje em dia. É porque em 1996, quando o KDE foi fundado, o GNOME foi criado com o objetivo expresso de competir diretamente com o KDE. E essa rivalidade persistiu até o presente.
O Gnome é uma parte oficial da coleção de software livre GNU http://www.gnu.org/software/software.html