Respostas:
firefoxescreve no log da sessão;
em sistemas mais antigos (pré- systemd) salvos ~/.xsession-errors, tente executar:
grep firefox ~/.xsession-errors
nas systemdconfigurações mais recentes, você pode visualizar (como usuário) as entradas relevantes no diário com:
journalctl -qb /usr/bin/firefox
Eu acho que por "log do firefox" você quer dizer todos os arquivos temporários criados pelo firefox, então dê uma olhada no diretório ~/.mozilla/firefox. Você pode encontrar subdiretórios com cache, "Crash Reports", mas também muitos arquivos de configuração (por exemplo profiles.ini).