Respostas:
A maneira mais fácil é provavelmente teea mensagem para stderr e stdout:
echo "Script finished on date" | tee /dev/stderr \
| /usr/bin/Mail -s "Script complete" "myaccount@myserver.com"
teeduplica sua entrada para vários destinos, incluindo stdout. Por padrão, stderr e stdout vão para a tela; você está redirecionando o stdout para Mail, deixando apenas o stderr indo para a tela.
Se você precisar dele no stdout por algum motivo, poderá redirecioná-lo novamente usando um subshell (ou várias outras maneiras):
(
echo "Script finished on date" | tee /dev/stderr \
| /usr/bin/Mail -s "Script complete" "myaccount@myserver.com"
) 2>&1
exec &> $LOGFILE) e restaure o stdout, coloque o arquivo em stdout e envie-o por correio.