Respostas:
Acho que ainda não há possibilidade de fazer isso.
O Facebook ainda não é exatamente o flickr.
É possível, apenas não para a pasta Imagem do perfil ou qualquer outro álbum gerado automaticamente . A página de Ajuda do Facebook Como mover fotos entre álbuns? contém um guia passo a passo:
1. Go to the full album view of an existing album.
2. Select "Edit Album Info" on the bottom left of the page.
3. Select the "Edit Photos" tab.
4. Select a destination album from the drop-down menu under
each photo you wish to move.
5. Click "Save Changes."
Há também um aplicativo do Facebook, Fotolink .
"O Fotolink ajuda você a carregar e baixar fotos usando o recurso de arrastar e soltar do facebook para o seu computador ou para qualquer serviço de fotos online. "
Não usei o Fotolink, mas li que, ao mover imagens, comentários e curtidas podem não se mover com as imagens.