Meu menu de rodapé é um widget , portanto, tive dificuldades em usar o código de Chittaranjan. A seguinte versão editada funciona para mim. Também mudei os links e os tornei "dinâmicos": o login leva a uma página de sua escolha, o logout permanece na página atual ou é enviado para casa, se a página atual for sua página de login (privada). O ideal seria verificar se sua página de login é realmente privada, mas não sei como fazer isso, desculpe.
add_filter( 'wp_nav_menu_items', 'wti_loginout_menu_link', 10, 2 );
function wti_loginout_menu_link( $items, $args ) {
//var_dump($args);
if (($args->menu->slug == 'footer')) {
if (is_user_logged_in()) {
$loginlink = '/your-private-page';
$logoutlink = get_permalink();
if (strpos($logoutlink, $loginlink) !== false) {
$logoutlink = '/';
}
$items .= '<li class="right"><a href="'. wp_logout_url($logoutlink) .'">'. __("Log Out") .'</a></li>';
} else {
$items .= '<li class="right"><a href="'. wp_login_url($loginlink) .'">'. __("Log In") .'</a></li>';
}
}
return $items;
}