Como faço para o meu tema filho reaplicar as configurações personalizadas quando seu pai estava ativo?

Cenário

1. Escolha o tema de 2015. Personalize várias configurações, como imagem de plano de fundo, imagem de cabeçalho, nome do site e slogan.
2. Mas não toque no conteúdo de nenhum arquivo do tema.
3. Use os Temas filho do Codex para criar um tema filho mínimo do tema 2015.
4. Ative o novo tema filho.

Opa?

O site com este tema filho mínimo desencapado ativado parece completamente diferente do tema pai. A imagem de plano de fundo e cabeçalho desapareceu e todos os tipos de widgets da barra lateral (ou cabeçalho) foram ativados que não estavam ativos (por padrão) no tema pai de 2015.

Aparência original do site, com apenas algumas configurações personalizadas para o tema de 2015:

O site como ele se parece com o tema filho derivado do tema de 2015, que possui apenas o cabeçalho necessário style.csse enfileira apenas os estilos, conforme sugerido na página Tema do Criança do Codex function.php.

Questão

Como faço para que a ativação do tema filho mantenha as personalizações e os padrões do tema pai?

Nesse caso: o cabeçalho e as imagens de plano de fundo e a remoção (desativação?) Dos widgets padrão (barra lateral / cabeçalho).

Notas

Criar um tema filho de um tema personalizado já pesado pode parecer uma duplicata, mas isso é sobre personalizações, editando os arquivos do tema.

Esta pergunta Ao ativar um tema filho, quais configurações principais precisam ser redefinidas, por exemplo; Menus personalizados etc? parece perguntar exatamente o que eu pareço estar depois. Infelizmente, a única resposta especula sobre uma incompatibilidade de recursos, o que não é o meu caso e não entendeu o comentário do OP com o mesmo efeito.

Eu também olhei

• Ao ativar um tema filho, quais configurações principais precisam ser redefinidas, por exemplo; Menus personalizados etc? . Está relacionado, mas não responde à minha pergunta.
• O seguinte: Registrar as configurações do personalizador de temas quando o tema é ativado [duplicado] também parece relacionado, mas não aborda o que eu quero.
• A pergunta também não foi marcada como duplicada: A API de configurações habilita as configurações padrão na instalação do tema? que trata de salvar as configurações do tema filho, não de reutilizar ou reaplicar as configurações do tema pai para o filho.

Eu dei um +1 à resposta do @ webtoure porque ela fornece a direção certa, no entanto, acho que falta algumas verificações.

Primeiro, ele não verifica se o tema que está sendo ativado é um tema filho e não verifica se o tema anteriormente ativo é o tema pai do tema filho que está sendo ativado.

Pelo meu entendimento do OP, essas condições são necessárias.

Além disso, um problema que você precisa levar em consideração é o que fazer com os mods de tema do tema filho serem ativados, se eles já existirem.

Na resposta do @webtoure, eles são armazenados em um backup, que pode salvá-lo em algumas circunstâncias, mas o WordPress não os reconhece por padrão e, portanto, eles exigem algum código adicional para serem usados.

Eu acho que seria melhor herdar as modificações de tema do tema pai apenas na primeira vez que um tema filho for ativado.

Em resumo, as condições que desejo verificar antes para herdar mods de tema do tema pai são:

• o tema anteriormente ativo deve ser o pai do tema filho que está sendo ativado
• o tema filho que está sendo ativado nunca foi ativado antes

Para garantir a segunda condição, usarei uma opção personalizada, porque o WordPress não fornece uma maneira de fazer essa verificação.

Este é o código, por favor, leia os comentários embutidos para obter uma explicação do que está acontecendo:

add_action( 'switch_theme', function( $new_name, \WP_Theme $new_theme ) {

    // get the previously active theme
    $previous = get_option( 'theme_switched', -1 );

    // get the parent of current theme, will be false if no parent
    $parent = $new_theme->parent() ? $new_theme->get_template() : false;

    // current stylesheet name
    $stylesheet = get_option( 'stylesheet' );

    // has the theme being activated ever been activated before?
    $lastActive = get_option( $stylesheet . '_last_active', false );

    // if previouly active theme is the parent of the the child theme being activated
    // and it has never been activated before..
    if ( ! $lastActive && $parent === $previous ) {

        // update "last_active" option so following code won't run again for this theme
        update_option( $stylesheet . '_last_active', current_time( 'timestamp', 1 ) );

        // get the theme mods of the parent
        $previousMods = get_option( 'theme_mods_' . $parent, array() );

        // inherit current theme mods from parent theme mods
        update_option( 'theme_mods_' . $stylesheet, $previousMods );
    }

}, 10, 2 );