Edit: Isso não funciona porque eu esqueci as verificações descobertas. No entanto, acho que esse progresso é notável, então deixarei a resposta aqui.
Repetição é impossível.
Primeiro, obviamente não pode haver movimentos de peões, roque ou capturas.
Em seguida, afirmo que não pode haver movimentos de rei. Para provar isso, observe que uma jogada de rei só pode dar um cheque se for um cheque descoberto. Portanto, para que um rei se mova para dar check, os dois reis devem estar em uma linha, vertical, horizontal ou diagonal. Dada a posição de um dos reis, o conjunto de quadrados em que o outro rei pode estar, para que ele possa dar o cheque, é o conjunto de quadrados na mesma linha que o rei e não no mesmo quadrado que o rei ou os quadrados próximos a aquele quadrado. Como não há dois quadrados adjacentes, o rei não pode se mover de um quadrado para outro de uma só vez. Observe que os quadrados A e B estão em uma linha se e somente se os quadrados B e A estiverem em uma linha; portanto, uma vez que um dos reis se move, ele não está mais em uma linha, portanto, nenhum outro movimento do rei pode dar check. Portanto, há no máximo um rei se movendo no ciclo,
Portanto, não pode haver nenhum teste de cavaleiro, caso contrário o rei teria que se mover ou o cavaleiro teria que ser capturado.
Portanto, todos os movimentos são movimentos por peças, o que significa que todos devem bloquear as verificações anteriores.
Para qualquer métrica no conjunto de quadrados do tabuleiro de xadrez, suponha que seja verdade que, para qualquer conjunto de posições dos reis K1 e K2 e qualquer quadrado A que esteja em alguma linha (vertical, horizontal ou diagonal) com o rei, qualquer quadrado bloqueador B não pode aumentar a soma das distâncias entre o quadrado e cada um dos reis (ou seja, d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Então a soma das distâncias para cada um dos quadrados dos reis deve permanecer constante ao longo do ciclo.
É fácil verificar se as seguintes métricas satisfazem essa propriedade: d (A, B) = | row (A) -row (B) | d (A, B) = | coluna (A) -coluna (B) | d (A, B) = | inclinação1diagonal (A) - inclinação1diagonal (B) | (Com isso, quero dizer numerar as diagonais paralelas à diagonal A1H8 de 1 a 15) d (A, B) = | slope-1diagonal (A) -slope-1diagonal (B) | (Igual ao anterior, mas paralelo à outra diagonal)
De fato, é fácil ver que, para qualquer uma das métricas acima, se o quadrado de bloqueio não estiver dentro das duas linhas paralelas dessas métricas (por exemplo, para a primeira métrica, dentro do retângulo com lados formados pelas linhas de cada uma das métricas). os reis e as colunas dos lados do tabuleiro), então a soma das distâncias diminuirá com o próximo quadrado de bloqueio. O que seria uma contradição, portanto, os quadrados de bloqueio são restritos a estar dentro de cada uma das linhas paralelas delimitadoras.
Se os dois reis estiverem na mesma linha, coluna ou diagonal, o argumento do parágrafo acima mostra que todos os quadrados de bloqueio devem estar nessa linha, coluna ou diagonal, claramente impossível.
Portanto, se visualizarmos as posições do rei como dois vértices opostos de um retângulo com lados paralelos aos lados do quadro, usando as duas primeiras métricas, todos os quadrados de bloqueio devem estar no retângulo delimitador ou no retângulo. O uso das outras duas métricas nos permite reduzir isso para um paralelogramo delimitador.
Observe que os únicos quadrados de bloqueio possíveis são aqueles que são interseções de linhas, colunas e diagonais através de cada um dos quadrados dos reis, porque eles devem dar cheque ao outro rei e bloquear um cheque. É fácil ver que sempre existem 2 quadrados de bloqueio possíveis no paralelogramo delimitador: os outros dois vértices do paralelogramo. Mas então, se tivermos uma peça de verificação em cada uma (o que é necessário), não haverá quadrados delas para mover para dar verificação, contradição.