O coeficiente de correlação usual (em 2d) mede quão bem um conjunto de pontos pode ser descrito por uma linha e, se sim, seu sinal nos diz se temos uma correlação positiva ou negativa. Mas isso pressupõe que as coordenadas dos pontos possam realmente ser interpretadas quantitativamente, por exemplo, como medidas.

Se você não pode fazer isso, mas ainda pode ordenar as coordenadas, existe o coeficiente de correlação de classificação : Ele mede quão bem os pontos podem ser descritos por uma função monotônica .

Desafio

Dada uma lista de pontos 2d, determine seu coeficiente de correlação de classificação .

Detalhes

• Você pode assumir que a entrada seja um número inteiro positivo (mas não precisa) ou qualquer outro valor "classificável".
• Os pontos podem ser tomados como uma lista de pontos, ou duas listas para as coordenadas x e y ou uma matriz ou matriz 2D, etc.
• A saída deve ser um ponto flutuante ou tipo racional, pois deve representar um número real entre 0 e 1.

Definições

Classificação: dada uma lista de números X=[x(1),...,x(n)], podemos atribuir um número positivo rx(i)chamado classificação a cada entrada x(i). Fazemos isso classificando a lista e atribuindo o índice x(i)na lista classificada rx(i). Se dois ou mais x(i)tiverem o mesmo valor, usamos apenas a média aritmética de todos os índices correspondentes como classificação. Exemplo:

          List: [21, 10, 10, 25, 3]
Indices sorted: [4, 2, 3, 5, 1]

O número 10aparece duas vezes aqui. Na lista ordenada, ocuparia os índices 2e 3. A média aritmética desses é 2.5que as fileiras são

         Ranks: [4, 2.5, 2.5, 5, 1]

Coeficiente de correlação de classificação : [(x(1),y(1)),(x(2),y(2)),...,(x(n),y(n))]sejam os pontos dados em que cada um x(i)e y(i)é um número real (wlog. Você pode assumir que é um número inteiro). Para cada um i=1,...,n, calculamos a classificação rx(i) e ry(i)de x(i)e, y(i)respectivamente.

Let d(i) = rx(i)-ry(i)Ser a diferença de classificação e Let SSer a soma S = d(1)^2 + d(2)^2 + ... + d(n)^2. Então o coeficiente de correlação de classificação rho é dado por

rho = 1 - 6 * S / (n * (n^2-1))

Exemplo

x   y   rx              ry   d      d^2
21  15  4               5   -1      1
10  6   2&3 -> 2.5      2    0.5    0.25
10  7   2&3 -> 2.5      3   -0.5    0.25
25  11  5               4    1      1
3   5   1               1    0      0

    rho = 1 - 6 * (1+0.25+0.25+1)/(5*(5^2-1)) = 0.875   

MATL , 33 bytes

,it7#utb,&S]2XQw)]-Us6*1GntUq*/_Q

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Explicação

,           % Do...twice
  it        %   Input a numeric vector. Duplicate
  7#u       %   Replace each element by a unique integer label (1, 2, ...)
  t         %   Duplicate
  b         %   Bubble up: moves original numeric vector to top
  ,         %   Do...twice
    &S      %     Sort and push the indices of the sorting
  ]         %   End
            %   The above do...twice loop gives the sorted indices (as
            %   explained in the challenge text) for the current input
  2XQ       %   Compute average for entries with the same integer label
  w         %   Swap: move vector of integer labels to top
  )         %   Index. This gives the rank vector for the current input
]           % End
-           % Subtract the two results. Gives d
Us          % Square each entry, sum of vector. S
6*          % Times 6. Gives 6*S
1G          % Push first input vector again
n           % Number of entries. Gives n
t           % Duplicate 
Uq          % Square, minus 1. Gives n^2-1
*           % Times. Gives n*(n^2-1)
/           % Divide. Gives 6*S/(n*(n^2-1))
_Q          % Negate, plus 1. Gives 1-6*S/(n*(n^2-1))

R , 64 bytes 60

function(x,y)1-6*sum((rank(x)-rank(y))^2)/((n=sum(x|1))^3-n)

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rankem R é o valor interno que calcula a classificação desejada; o resto é apenas a matemática para fazer o resto do trabalho.

Obrigado a CriminallyVulgar por salvar 4 bytes

Como mencionado nos comentários , a definição declarada de coeficiente de correlação de classificação não corresponde exatamente ao coeficiente de correlação de Spearman; caso contrário, uma resposta válida seria 26 bytes:

function(x,y)cor(x,y,,"s")

Python 3 , 141 bytes

lambda X,Y,Q=lambda U,S=sorted:[S(U).index(y)+S(U).count(y)/2+.5for y in U]:1-6*sum((i[1]-i[0])**2for i in zip(Q(X),Q(Y)))/(len(X)**3-len(X))

Isso define uma função anônima que recebe entrada como duas listas correspondentes aos valores xe y. A saída é retornada como um valor de ponto flutuante.

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Mathematica, 89 bytes

(F[x_]:=Min@N@Mean@Position[Sort@x,#]&;1-6Tr[(F@#/@#-F@#2/@#2)^2]/((y=Length@#)(y^2-1)))&

Experimente online! (para trabalhar em matemática, "Tr" é substituído por "Total")

Wolfram Language (Mathematica) , 18 bytes

N[SpearmanRho@@#]&

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