Neste desafio, pedirei que você encontre uma decomposição QR de uma matriz quadrada. A decomposição QR da matriz A é duas matrizes Q e R, de modo que A = QR . Em particular, estamos procurando Q ser uma matriz ortogonal (ou seja, Q ^T Q = QQ ^T = I, onde I é a identidade multiplicativa e ^T é a transposição) e R uma matriz triangular superior (todos os valores abaixo de sua diagonal devem seja zero).

Você escreverá um código que utiliza uma matriz quadrada por qualquer método razoável e gera uma decomposição QR por qualquer método. Muitas matrizes têm várias decomposições QR, no entanto, você só precisa da saída uma.

Os elementos das matrizes resultantes devem estar dentro de duas casas decimais de uma resposta real para cada entrada na matriz.

Esta é uma competição de código-golfe , portanto as respostas serão pontuadas em bytes, com menos bytes sendo uma pontuação melhor.

Casos de teste

Essas são apenas saídas possíveis; suas saídas não precisam corresponder a todas, desde que válidas.

0 0 0     1 0 0   0 0 0
0 0 0 ->  0 1 0   0 0 0
0 0 0     0 0 1 , 0 0 0

1 0 0     1 0 0   1 0 0
0 1 0 ->  0 1 0   0 1 0
0 0 1     0 0 1 , 0 0 1

1 2 3     1 0 0   1 2 3
0 3 1 ->  0 1 0   0 3 1
0 0 8     0 0 1 , 0 0 8

0 0 1     0 0 1   1 1 1
0 1 0 ->  0 1 0   0 1 0
1 1 1     1 0 0 , 0 0 1

0 0 0 0 1     0 0 0 0 1   1 0 0 0 1
0 0 0 1 0     0 0 0 1 0   0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 ->  0 0 1 0 0   0 0 1 0 0
0 1 1 1 0     0 1 0 0 0   0 0 0 1 0
1 0 0 0 1     1 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1

Julia, 2 bytes

qr

A função qraceita uma matriz quadrada e retorna uma Tupledas matrizes: Q e R .

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Oitava , 19 bytes

@(x)[[q,r]=qr(x),r]

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Minha primeira resposta do Oitava \ o /

O Octave's qrtem muitas alternativas em outros idiomas que retornam Q e R : QRDecomposition(Mathematica), matqr(PARI / GP), 128!:0- se bem me lembro - (J), qr(R) ...

Wolfram Language (Mathematica) , 15 bytes

QRDecomposition

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Quero dizer ... o que posso dizer?

R , 38 bytes 37

pryr::f(list(qr.R(q<-qr(m)),qr.Q(q)))

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SageMath , 27 bytes

lambda x:matrix(RDF,x).QR()

Python 2, 329 324 bytes

import fractions
I=lambda v,w:sum(a*b for a,b in zip(v,w))
def f(A):
 A,U=[map(fractions.Fraction,x)for x in zip(*A)],[]
 for a in A:
    u=a
    for v in U:u=[x-y*I(v,a)/I(v,v)for x,y in zip(u,v)]
    U.append(u)
 Q=[[a/I(u,u)**.5 for a in u]for u in U];return zip(*Q),[[I(e,a)*(i>=j)for i,a in enumerate(A)]for j,e in enumerate(Q)]

Devemos usar frações para garantir a saída correta, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process#Numerical_stability

Recuo usado:

1. 1 espaço
2. 1 guia

Python com numpy, 28 bytes

import numpy
numpy.linalg.qr