O desafio

Encontre a menor rede neural de avanço de forma que, dado qualquer vetor de entrada tridimensional com entradas inteiras em , a rede produz a maior raiz (ou seja, "mais positiva") da polinômio com erro estritamente menor que .$(a,b,c)$$[-10,10]$$x^3+ax^2+bx+c$$0.1$

Admissibilidade

A noção de admissibilidade no meu desafio anterior sobre golfe na rede neural parecia um pouco restritiva; portanto, para esse desafio, estamos usando uma definição mais liberal de rede neural feedforward:

Um neurônio é uma função especificada por um vetor de pesos , um viés e uma função de ativação da seguinte maneira:$\nu\colon\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}$$w\in\mathbf{R}^{n}$ b ∈ R f : R → R $b\in\mathbf{R}$ $f\colon\mathbf{R}\to\mathbf{R}$

$$\nu(x) := f(w^\top x+b), \qquad x\in\mathbf{R}^n.$$

Uma rede neural de feedforward com nós de entrada é uma função de que pode ser criada a partir de uma sequência de neurônios, em que cada recebe entradas de e gera um escalar . Dado um conjunto especificado de nós de saída , a saída da rede neural é o vetor .$\{1,\ldots,n\}$$(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n$$(\nu_k)_{k=n+1}^N$$\nu_k\colon\mathbf{R}^{k-1}\to\mathbf{R}$$(x_1,\ldots,x_{k-1})$$x_k$$S\subseteq\{1,\ldots,N\}$($(x_k)_{k\in S}$

Como as funções de ativação podem ser ajustadas para qualquer tarefa, precisamos restringir a classe de funções de ativação para manter esse desafio interessante. As seguintes funções de ativação são permitidas:

• Identidade. $f(t)=t$

• ReLU. $f(t)=\operatorname{max}(t,0)$

• SoftPlus. $f(t)=\ln(e^t+1)$

• Sigmoide. $f(t)=\frac{e^t}{e^t+1}$

• Sinusóide. $f(t)=\sin t$

No geral, uma rede neural admissível é especificada por nós de entrada, uma sequência de neurônios e nós de saída, enquanto cada neurônio é especificado por um vetor de pesos, um viés e uma função de ativação da lista acima. Por exemplo, a seguinte rede neural é admissível, embora não atenda à meta de desempenho desse desafio:

• Nós de entrada: $\{1,2\}$

• Neurônios: para$\nu_k(x_1,\ldots,x_{k-1}):=x_{k-2}+x_{k-1}$$k\in\{3,\ldots,10\}$

• Nós de saída: $\{5,9,10\}$

Essa rede consiste em 8 neurônios, cada um com viés zero e ativação de identidade. Em palavras, essa rede calcula a sequência generalizada de Fibonacci gerada por e e, em seguida, gera os números 5, 9 e 10 dessa sequência, nessa ordem.$x_1$$x_2$

Pontuação

Dado um número real com expansão decimal final, seja o menor número inteiro não negativo para o qual e seja o menor número inteiro não negativo para qual é um número inteiro. Então dizemos que é a precisão de .$x$$p(x)$$p$$10^{-p}\cdot |x|<1$$q(x)$$q$$10^q \cdot x$$p(x)+q(x)$x$x$

Por exemplo, tem uma precisão de , enquanto tem uma precisão de .$x=1.001$$4$$x=0$$0$

Sua pontuação é a soma das precisões dos pesos e desvios na sua rede neural.

(Por exemplo, o exemplo acima tem uma pontuação de 16.)

Verificação

Embora as raízes possam ser expressas em termos da fórmula cúbica , a maior raiz talvez seja mais facilmente acessada por meios numéricos. Seguindo a sugestão do @ xnor, calculei a maior raiz para todas as opções de números inteiros , e os resultados podem ser encontrados aqui . Cada linha desse arquivo de texto é do formulário . Por exemplo, a primeira linha informa que a maior raiz de é aproximadamente .$a,b,c\in[-10,10]$x 3 - 10 x 2 - 10 x - 10 10,99247140445449a,b,c,root$x^3-10x^2-10x-10$$10.99247140445449$

Editar: o arquivo original que publiquei teve erros nos casos em que o polinômio exibia uma raiz múltipla. A versão atual deve estar livre de tais erros.

14674000667 5.436.050 5.403.448 10.385 5.994 4.447
3.806 total precisão

Para uma linha de base, investiguei a seguinte abordagem: Selecione , para que, se amostrarmos o polinômio em$M,\delta,\epsilon>0$$p(x)=x^3+ax^2+bx+c$

$$S:=\{-M,-M+\delta,-M+2\delta,\ldots,M\},$$

então o maior ponto de amostra satisfazendo necessariamente existe e reside necessariamente dentro de da maior raiz de . Pode-se mostrar que, para nossa coleção de polinômios, pode-se usar , e .$s^\star\in S$$p(s^\star)<\epsilon$$0.1$$p$$M=11$$\delta=0.1$$\epsilon=10^{-4}$

Para projetar uma rede neural que implementa essa lógica, começamos com uma camada de neurônios que amostra o polinômio em . Para cada , tomamos$S$$s\in S$

$$x_{1,s} = s^2\cdot a + s\cdot b + 1\cdot c + s^3.$$

A seguir, identificamos quais são menores que . Acontece que para , sustenta que somente se . Como tal, podemos usar as ativações relu para identificar exatamente nossas amostras:$\epsilon=10^{-4}$$s\in S$$p(s)<10^{-4}$$p(s)\leq 0$

$$\frac{\mathrm{relu}(10^{-4}-t) - \mathrm{relu}(-t)}{10^{-4}} = \left\{\begin{array}{cl}1&\text{if }t\leq 0\\0&\text{if }t\geq 10^{-4}.\end{array}\right.$$

Implementamos isso com algumas camadas de neurônios:

$$\begin{aligned} x_{2,s} &= \mathrm{relu}(-1\cdot x_{1,s}+10^{-4}), \\ x_{3,s} & = \mathrm{relu}(-1\cdot x_{1,s}), \\ x_{4,s} &= 10^{4}\cdot x_{2,s}-10^{4}\cdot x_{3,s}. \end{aligned}$$

Neste ponto, temos quando e, caso contrário, . Lembre-se de que procuramos a maior para a qual . Para esse fim, rotulamos como (por conveniência de notação) e, para cada , definimos iterativamente$x_{4,s}=1$$p(s)<10^{-4}$$x_{4,s}=0$$s^\star$$x_{4,s^\star}=1$$x_{4,M}$$x_{5,M}$$k\geq 1$

$$x_{5,M-k\delta} = 1\cdot x_{4,M-k\delta}+2\cdot x_{5,M-(k-1)\delta} = \sum_{j=0}^k 2^{k-j}x_{4,M-j\delta}.$$

Graças a essa transformação, todo é um número inteiro não negativo e é o exclusivo para o qual . Agora podemos identificar por outra aplicação de ativações relu:$x_{5,s}$$s^\star$$s$$x_{5,s}=1$$s^\star$

$$\mathrm{relu}(t-2)-2\cdot\mathrm{relu}(t-1)+t = \left\{\begin{array}{cl}1&\text{if }t=1\\0&\text{if }t\in\mathbf{Z}_{\geq 0}\setminus\{1\}.\end{array}\right.$$

Explicitamente, definimos neurônios por

$$\begin{aligned} x_{6,s} &= \mathrm{relu}(1\cdot x_{5,s} - 2), \\ x_{7,s} &= \mathrm{relu}(1\cdot x_{5,s} - 1), \\ x_{8,s} &= 1\cdot x_{6,s} - 2\cdot x_{7,s} + 1\cdot x_{5s}. \end{aligned}$$

Então se e, caso contrário, . Nós os combinamos linearmente para produzir nosso nó de saída:$x_{8,s}=1$$s=s^\star$$x_{8,s}=0$

$$x_9 = \sum_{s\in S} s\cdot x_{8,s} = s^\star.$$

Para a pontuação, cada camada possui neurônios com diferentes níveis de precisão: (1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) , (7) , (8) , (9). Além disso, todas as camadas, exceto duas, possuem neurônios; a camada 5 possui neurônios e a camada 9 possui neurônio.$6+3+1+9=19$$1+4=5$$1$$5+5=10$$1+1=2$$1+1=2$$1+1=2$$1+1+1=3$$3|S|$$|S|=221$$|S|-1$$1$

Edit: Improvements: (1) Podemos amostrar o polinômio com muito mais eficiência usando diferenças finitas. (2) Podemos ignorar as camadas 2 a 4 usando uma ativação sigmóide. (3) Os problemas de transbordamento na camada 5 podem ser evitados (e as camadas subseqüentes podem ser combinadas) aplicando com mais cuidado as ativações relu. (4) A soma final é mais barata com a soma por partes .

O que se segue é o código MATLAB. Para ser claro, precé uma função (encontrada aqui ) que calcula a precisão de um vetor de pesos ou vieses.

function sstar = findsstar2(a,b,c)

relu = @(x) x .* (x>0);

totprec = 0;

% x1 samples the polynomial on -11:0.1:11
x1=[];
for s = -11:0.1:11
    if length(x1) < 5
        w1 = [s^2 s 1];
        b1 = s^3;
        x1(end+1,:) = w1 * [a; b; c] + b1;
        totprec = totprec + prec(w1) + prec(b1);
    else
        w1 = [-1 4 -6 4];
        x1(end+1,:) = w1 * x1(end-3:end,:);
        totprec = totprec + prec(w1);
    end
end

% x4 indicates whether the polynomial is nonpositive
w4 = -6e5;
b4 = 60;
x4=[];
for ii=1:length(x1)
    x4(end+1) = sigmf(w4 * x1(ii) + b4, [1,0]);
    totprec = totprec + prec(w4) + prec(b4);
end

% x6 indicates which entries are less than or equal to sstar
x5 = zeros(size(x1));
x6 = zeros(size(x1));
x5(end) = 0;
x6(end) = 0;
for ii = 1:length(x5)-1
    w5 = [-1 -1];
    b5 = 1;
    x5(end-ii) = relu(w5 * [x4(end-ii); x6(end-ii+1)] + b5);
    totprec = totprec + prec(w5) + prec(b5);
    w6 = -1;
    b6 = 1;
    x6(end-ii) = w6 * x5(end-ii) + b6;
    totprec = totprec + prec(w6) + prec(b6);
end

% a linear combination produces sstar
w7 = 0.1*ones(1,length(x1));
w7(1) = -11;
sstar = w7 * x6;

%disp(totprec) % uncomment to display score

end

53.268 29.596 29.306 precisão total

A comunicação privada com @ A.Rex levou a esta solução, na qual construímos uma rede neural que memoriza as respostas. A idéia central é que toda função de em um conjunto finito desfruta da decomposição$f\colon S\to\mathbf{R}$$S$

$$f(x) = \sum_{s\in S}f(s)\cdot \left\{\begin{array}{cl}1&\text{if }x=s\\0&\text{else}\end{array}\right\}.$$

Como tal, pode-se construir uma implementação de rede neural de , primeiro transformando a entrada em uma função indicadora da entrada e, em seguida, combinando linearmente usando as saídas desejadas como pesos. Além disso, as ativações relu tornam essa transformação possível:$f$

$$\mathrm{relu}(t-1)-2\cdot\mathrm{relu}(t)+\mathrm{relu}(t+1) = \left\{\begin{array}{cl}1&\text{if } t=0\\0&\text{if }t\in\mathbf{Z}\setminus\{0\}.\end{array}\right.$$

O que se segue é uma implementação MATLAB dessa abordagem. Para ficar claro, roots.txté o arquivo raiz postado acima (encontrado aqui ) e precé uma função (encontrada aqui ) que calcula a precisão total de um vetor de pesos ou vieses.

Edit 1: Duas melhorias em relação ao original: (1) eu considerei alguns neurônios dos loops for. (2) Eu implementei a " integração de Lebesgue " na soma final, combinando primeiro termos do mesmo nível definido. Dessa forma, pago pelo valor de maior precisão de uma saída apenas uma vez a cada nível definido. Além disso, é seguro arredondar as saídas para o quinto mais próximo pelo teorema da raiz racional .

Edit 2: Melhorias menores adicionais: (1) eu considerei mais neurônios de um loop for. (2) Não me incomodo em calcular o termo na soma final para a qual a saída já é zero.

function r = approxroot(a,b,c)

relu = @(x)x .* (x>0);

totalprec=0;

% x4 indicates which entry of (-10:10) is a
w1 = ones(21,1);   b1 = -(-10:10)'-1;    x1 = relu(w1 * a + b1);
w2 = ones(21,1);   b2 = -(-10:10)';      x2 = relu(w2 * a + b2);
w3 = ones(21,1);   b3 = -(-10:10)'+1;    x3 = relu(w3 * a + b3);
w4p1 = ones(21,1); w4p2 = -2*ones(21,1); w4p3 = ones(21,1);
x4 = w4p1 .* x1 + w4p2 .* x2 + w4p3 .* x3;
totalprec = totalprec + prec(w1) + prec(w2) + prec(w3) + prec(b1) + prec(b2) + prec(b3) + prec(w4p1) + prec(w4p2) + prec(w4p3);

% x8 indicates which entry of (-10:10) is b
w5 = ones(21,1);   b5 = -(-10:10)'-1;    x5 = relu(w5 * b + b5);
w6 = ones(21,1);   b6 = -(-10:10)';      x6 = relu(w6 * b + b6);
w7 = ones(21,1);   b7 = -(-10:10)'+1;    x7 = relu(w7 * b + b7);
w8p1 = ones(21,1); w8p2 = -2*ones(21,1); w8p3 = ones(21,1);
x8 = w8p1 .* x5 + w8p2 .* x6 + w8p3 .* x7;
totalprec = totalprec + prec(w5) + prec(w6) + prec(w7) + prec(b5) + prec(b6) + prec(b7) + prec(w8p1) + prec(w8p2) + prec(w8p3);

% x12 indicates which entry of (-10:10) is c
w9 = ones(21,1);    b9 = -(-10:10)'-1;     x9 = relu(w9 * c + b9);
w10 = ones(21,1);   b10 = -(-10:10)';      x10 = relu(w10 * c + b10);
w11 = ones(21,1);   b11 = -(-10:10)'+1;    x11 = relu(w11 * c + b11);
w12p1 = ones(21,1); w12p2 = -2*ones(21,1); w12p3 = ones(21,1);
x12 = w12p1 .* x9 + w12p2 .* x10 + w12p3 .* x11;
totalprec = totalprec + prec(w9) + prec(w10) + prec(w11) + prec(b9) + prec(b10) + prec(b11) + prec(w12p1) + prec(w12p2) + prec(w12p3);

% x15 indicates which row of the roots file is relevant
x15=[];
for aa=-10:10
    w13 = 1;
    b13 = -2;
    x13 = w13 * x4(aa+11) + b13;
    totalprec = totalprec + prec(w13) + prec(b13);
    for bb=-10:10
        w14p1 = 1;
        w14p2 = 1;
        x14 = w14p1 * x13 + w14p2 * x8(bb+11);
        totalprec = totalprec + prec(w14p1) + prec(w14p2);
        for cc=-10:10
            w15p1 = 1;
            w15p2 = 1;
            x15(end+1,1) = relu(w15p1 * x14 + w15p2 * x12(cc+11));
            totalprec = totalprec + prec(w15p1) + prec(w15p2);
        end
    end
end

% r is the desired root, rounded to the nearest fifth
A = importdata('roots.txt');
outputs = 0.2 * round(5 * A(:,4)');
uniqueoutputs = unique(outputs);
x16 = [];
for rr = uniqueoutputs
    if rr == 0
        x16(end+1,:) = 0;
    else
        lvlset = find(outputs == rr);
        w16 = ones(1,length(lvlset));
        x16(end+1,:) = w16 * x15(lvlset);
        totalprec = totalprec + prec(w16);
    end
end
w17 = uniqueoutputs;
r = w17 * x16;
totalprec = totalprec + prec(w17);

%disp(totalprec) % uncomment to display score

end