Por que, para reflexões perfeitas, uma superfície deve ter continuidade G2?

Por que, para reflexões perfeitas, uma superfície deve ter continuidade G2 (superfície classe A)?

Eu gostaria de uma resposta matemática.

rendering

— Valerio
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Algum contexto? Ou referência onde você leu isso? Porque isso não faz sentido para mim. Além disso, se não me engano, a continuidade Gn é definida apenas para superfícies polinomiais em partes, não há razão para uma superfície ser polinomial e, na prática, a maioria das superfícies é linear em partes.

— tom

G2 apenas menciona a derivabilidade n geométrica, independentemente de qualquer parametrização.

— Fabrice NEYRET 30/10/2015

@ tom Ele está falando do design geral de surf como no CAD. Não, eles não precisa ser polinômios, mas na prática muitas vezes eles são (exceto para arcos e cônicas circulares)

— joojaa

@joojaa Do que ainda estou confuso por que o uso da notação especial Gn. Em matemática, existe a noção padrão de variedade diferenciável de Cn. Então Gn e Cn são iguais? Eu pensei que o coletor Gn é um polinômio em partes, portanto é um coletor C-infty, exceto nas costuras do remendo.

— Tom

@tom C continuidade é a continuidade paramétrica e G é a continuidade geonétrica e, neste caso, a continuidade em 2 geometrias separadas.

— Joojaa

Respostas:

O que você vê reflete é a continuidade n dos normais, que são a derivada das posições. -> uma superfície somente G1 teria campo normal somente G0, ou seja, com súbita mudança de gradiente nas normais (e, portanto, nos reflexos), que os olhos podem perceber. As superfícies G2 têm campos normais G1, o que é suave o suficiente para os olhos.

— Fabrice NEYRET
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G0 Continuidade significa que as superfícies separadas se encontram,
G1 Continuidade de que as superfícies se encontram no mesmo ângulo,
G2 Continuity significa que a mudança de ângulo coincide com o ponto de contato.

O requisito G2 não significa que a superfície seja de boa qualidade. Apenas significa que sem isso a superfície não terá um fluxo contínuo de reflexão, para que os humanos possam ver a diferença. Isso pode ou não ser uma coisa boa depende do que você deseja.

Matematicamente, a superfície normal é:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Como os dois lados são derivados, isso significa que o campo de função da superfície normal tem um grau a menos que a superfície original. Portanto, para que a reflexão seja contínua em primeiro grau, ela deve ter uma continuidade em segundo grau.

Até agora, estabelecemos a relação entre a continuidade da superfície e a continuidade da reflexão. Até agora, nada prova que a reflexão da superfície precise ser contínua em primeiro grau. Para entender por que devemos sair do reino da matemática e entrar no reino da biologia.

O olho é equipado com um algoritmo de detecção de borda em um nível estrutural na retina. Esse algoritmo de detecção de borda, em essência, funciona como uma derivada discreta do sinal de entrada. Portanto, se sua superfície não for G2 contínua, a detecção de borda humana entra em ação e aparece. Para referências, leia sobre Mach Bands e assim por diante.

Como a detecção de borda é discreta, a continuidade G2 não é suficiente. A mudança não só deve ser satisfeita localmente, mas também na retina. Portanto, a mudança ainda deve ser superficial o suficiente para não causar problemas.

— joojaa
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O que significa "A mudança não apenas deve ser satisfeita localmente, mas também na retina"?

— Dan Hulme

O olho não está gravando um sinal contínuo. É discreto, mesmo que sua superfície possa atender tecnicamente à condição apresentada em um nível matemático. Pode não ser suficiente se o espaçamento da amostra distinta não vir a alteração. Portanto, a inclinação ainda precisa ser grande o suficiente para o olho humano perceber.

— Joojaa

Parece que você está dizendo que a derivada (do normal) não precisa apenas ser contínua, mas sua derivada deve estar abaixo de algum limite. Se é isso que você quer dizer, acho que o último parágrafo da sua resposta poderia ser mais claro.

— Dan Hulme

@ DanHulme não é um limite para o derivado, não é apenas uma questão de inclinação, mas a inter-parede da inclinação. Portanto, trata-se de uma amostragem discreta. Portanto, um ângulo muito agudo, mas uma pequena diferença na inclinação pode parecer contínua. Da mesma forma, mudanças contínuas sob uma curta parede interna podem parecer nítidas. Não é sobre matemática, é sobre amostragem. É apenas difícil de quantificar, pois é um sistema biológico.

— Joojaa