A matemática da minha perspectiva está correta?

Tenho uma lição de casa na qual tenho que calcular e plotar alguns pontos usando uma transformação em perspectiva, mas não tenho certeza de que meus resultados estejam corretos, pois o gráfico 3D usando coordenadas de câmera parece muito diferente do gráfico 2D usando as coordenadas da imagem . Você pode me ajudar a entender o que há de errado?

É o seguinte: A câmera está no ponto W T C = [ - 1 , 1 , 5 ] T , especificado nas coordenadas do mundo (em metros). A câmara do sistema de coordenadas é girado em torno do eixo Y da referência mundo por θ = 160 o , por isso, de matriz de rotação é w R c = [ c o s ( θ ) 0 s i n ( θ ) 0 1 0 - s i n ($_WT^C = [−1, 1, 5]^T$$\theta = 160^o$$^wR_c = \begin{bmatrix}cos(\theta) & 0 & sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\theta) & 0 & cos(\theta)\end{bmatrix}$

Câmara parâmetro são as seguintes: $f = 16mm$ , $s_x = s_y = 0.01 mm/px$ , $o_x = 320 px$ , $o_y = 240px$

Pontos de amostra (em coordenadas mundiais):

$^WP_1 = [1, 1, 0.5]^T$

$^WP_2 = [1, 1.5, 0.5]^T$

$^WP_3 = [1.5, 1.5, 0.5]^T$

$^WP_4 = [1.5, 1, 0.5]^T$

Eu tenho que calcular e plotar os pontos nas coordenadas da câmera e nas coordenadas da imagem, então escrevi o seguinte código no Octave:

%camera intrinsic parameters
f = 16
Sx = 0.01
Sy = 0.01
Ox = 320
Oy = 240

%given points, in world coordinate
wP1 = transpose([1, 1, 0.5])
wP2 = transpose([1, 1.5, 0.5])
wP3 = transpose([1.5, 1.5, 0.5])
wP4 = transpose([1.5, 1, 0.5])

% camera translation matrix
wTc = transpose([-1, 1, 5])

% rotation angle converted to rad
theta = 160 / 180 * pi

%camera rotation matrix
wRc = transpose([cos(theta), 0, sin(theta); 0, 1, 0; -sin(theta), 0, cos(theta)])

%transform the points to homogeneous coordinates
wP1h = [wP1; 1]
wP2h = [wP2; 1]
wP3h = [wP3; 1]
wP4h = [wP4; 1]

%separate each line of the rotation matrix
R1 = transpose(wRc(1 , :))
R2 = transpose(wRc(2 , :))
R3 = transpose(wRc(3 , :))

%generate the extrinsic parameters matrix
Mext = [wRc, [-transpose(R1) * wTc; -transpose(R2) * wTc; -transpose(R3) * wTc]]

%intrinsic parameters matrix
Mint = [-f/Sx, 0, Ox; 0, -f/Sy, Oy; 0, 0, 1]

% calculate coordinates in camera coordinates
cP1 = wRc * (wP1 - wTc)
cP2 = wRc * (wP2 - wTc)
cP3 = wRc * (wP3 - wTc)
cP4 = wRc * (wP4 - wTc)

% put coordinates in a list for plotting

x = [cP1(1), cP2(1), cP3(1), cP4(1), cP1(1)]
y = [cP1(2), cP2(2), cP3(2), cP4(2), cP1(2)]
z = [cP1(3), cP2(3), cP3(3), cP4(3), cP1(3)]

%plot the points in 3D using camera coordinates
plot3(x, y, z, "o-r")

pause()

% calculate the points in image coordinates
iP1 = Mint * (Mext * wP1h)
iP2 = Mint * (Mext * wP2h)
iP3 = Mint * (Mext * wP3h)
iP4 = Mint * (Mext * wP4h)

%generate a list of points for plotting
x = [iP1(1) / iP1(3), iP2(1) / iP2(3), iP3(1) / iP3(3), iP4(1) / iP4(3), iP1(1) / iP1(3)]
y = [iP1(2) / iP1(3), iP2(2) / iP2(3), iP3(2) / iP3(3), iP4(2) / iP4(3), iP1(2) / iP1(3)]

plot(x, y, "o-r")

pause()

E estas são as tramas que recebi do roteiro: esperava que elas fossem um pouco parecidas, mas não parecem.

Plotar coordenadas da câmera

Plotar nas coordenadas da imagem

Identificar seus eixos nas duas figuras e adicionar a posição da câmera à sua primeira figura ajudará você a entender o que está acontecendo.

$x$$y$$z$ . Dessa forma, você pode lidar com a projeção usando uma multiplicação simples da matriz em vez de manipular cada linha separadamente.

$[0, 0, 1]$$[0, 1, 0]$ . Se alguma dessas suposições estiver errada, o restante da resposta estará errado.

$0.016$$S_x = S_y = 0.0001$$0.00001$

$[-1,1,x]$$z=0.5$$x$$tan(160°) \cdot (5 - 0.5) = 1.64...$$x=-1$$\approx 0.64$$y$$y$

Uma boa maneira de verificar sua resposta é usando um modelador 3D existente como o Blender: tenha cuidado com o sistema de coordenadas do Blender, por exemplo, o vetor padrão da câmera é [0, 0, -1]. Aqui está a renderização: Focal foi definido com outro valor para tornar a esfera mais visível. Portanto, vemos que os dois pontos inferiores estão na linha do meio da imagem e os pontos estão ligeiramente à direita da imagem.

Eu implementei sua lição de casa em Python:

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d, Axes3D


# Parameters
f_mm = 0.016
f_px = f_mm / 0.00001
t_cam = np.array([[-1., 1., 5.]]).T
t_cam_homogeneous = np.vstack((t_cam, np.array([[0]])))
theta = 160. * np.pi / 180.
ox = 320
oy = 240
# Rotation and points are in homogeneous coordinates
rot_cam = np.array([[np.cos(theta), 0, np.sin(theta)],
                    [0, 1, 0],
                    [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta)]])
points = np.array([[1, 1, 0.5, 1],
                   [1, 1.5, 0.5, 1],
                   [1.5, 1.5, 0.5, 1],
                   [1.5, 1, 0.5, 1]]).T

# Compute projection matrix using intrinsics and extrinsics
intrinsics = np.array([[f_px, 0, ox],
                       [0, f_px, oy],
                       [0, 0, 1]])
extrinsics = np.hstack((rot_cam, rot_cam.dot(-t_cam)))

rot_cam2 = np.identity(4); rot_cam2[:3,:3] = rot_cam
camera_coordinates = rot_cam2.dot(points - t_cam_homogeneous)
camera_coordinates = camera_coordinates[:3,:] / camera_coordinates[3,:]

# Perform the projection
projected_points = intrinsics.dot(camera_coordinates)
projected_points = projected_points[:2,:] / projected_points[2,:]
projected_points[0,:] = -projected_points[0,:] # Inverted x-axis because camera is pointing toward [0, 0, 1]

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(points[0,:], points[1,:], points[2,:], label="Points")
ax.scatter(t_cam[0], t_cam[1], t_cam[2], c="red", label="Camera")
ax.set_xlabel("X axis"); ax.set_ylabel("Y axis"); ax.set_zlabel("Z axis")
plt.title("World coordinates")
plt.legend()
plt.savefig('world_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(camera_coordinates[0,:], camera_coordinates[1,:], camera_coordinates[2,:], label="Points")
ax.scatter(0, 0, 0, c="red", label="Camera")
ax.set_xlabel("X axis"); ax.set_ylabel("Y axis"); ax.set_zlabel("Z axis")
plt.title("Camera coordinates")
plt.legend()
plt.savefig('camera_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

plt.figure()
plt.scatter(projected_points[0,:], projected_points[1,:])
plt.xlabel("X axis"); plt.ylabel("Y axis")
plt.title("Image coordinates")
plt.savefig('image_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

plt.show()

Isso me dá as seguintes figuras: Respectivamente: coordenadas mundiais, coordenadas da câmera, coordenadas da câmera giradas para se ajustar levemente à orientação da câmera (observe que aqui o vetor da câmera vai em direção ao ponto de vista da figura, ele não "entra" na figura) e nas coordenadas da imagem.

Portanto, vemos que as coordenadas verticais para os pontos inferiores estão corretamente na linha do meio (240) e os pontos estão no lado direito da imagem (valor horizontal> 320).

-f/Sxy$[0, 0, 1]$$x$

$[0, -1, 0]$