Razões das suposições para a função de distribuição de microfacetos?

O artigo Modelos de microfacetos para refração através de superfícies irregulares (entre outros) nos lembra as seguintes suposições sobre a função de distribuição de microfacetos D:

1. A densidade de microfacetes é de valor positivo
2. A área total da micro-superfície é pelo menos tão grande quanto a área correspondente da macro-superfície
3. A área projetada (assinada) da micro-superfície é a mesma que a área projetada da macro-superfície para qualquer direção v

Percebo por que 1) uma densidade de distribuição é um valor positivo e acredito intuitivamente que 2) significa que a área total de microfacetes inclinados não pode ser menor que sua projeção.
No entanto, não tenho certeza de entender a justificativa para 3). O que significa a terceira condição?

É uma suposição geométrica como as outras duas. Considere uma macrosuperfície plana. Sua área projetada em qualquer direção é apenas vezes sua área (onde é a superfície normal). Em particular, o caso em que você o observa ao longo do normal é mais simples: a área projetada é igual à área da superfície.$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Agora divida a macrosuperfície em microfacetes. A área total dos microfacetes é pelo menos igual (suposição 2), mas cada 'torção' na superfície afasta as normais dos microfacetes separados do normal original. Qualquer que seja a forma dos microfacetes, a soma de suas áreas projetadas não muda. No caso em que você está olhando ao longo do normal, é fácil ver que a área total projetada é a mesma: a superfície teria que ficar maior ou menor para mudar.

Para qualquer direção, o microfacete deve cobrir uma parte da área projetada original da superfície. Alterar a orientação do microfacet enquanto ainda preenche essa parte não altera sua área projetada.

Há um caso complicado, onde os microfacetes se projetam. Nesse caso, a área total é maior, porque alguma área é coberta por mais de um microfacete. Mas, neste caso, pelo menos um dos microfacetes precisa acabar apontando para fora da direção da vista, de volta à superfície. Nesse caso, o produto escalar é negativo, portanto cancela a área coberta por mais de um microfacete. É por isso que o texto é cuidadoso ao destacar que é a área projetada assinada .

Há mais um caso complicado, onde os microfacetes se estendem além da silhueta do objeto. Isso pode acontecer quando você está olhando de ângulos muito visíveis ou quando facetas pendentes pendem para fora do perímetro da superfície. Nesse caso, a área projetada dos microfacetes será maior, violando a terceira hipótese. Geralmente, não consideramos esse caso. Intuitivamente, combina com o fato de que técnicas como o mapeamento de relevo não mudam a forma da silhueta do objeto.