O que são transformações afins?

O que são Tranformações Afins? Eles se aplicam apenas a pontos ou a outras formas também? O que significa que eles podem ser "compostos"?

transformations affine-transformations

— luser droog
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Uma transformação afim é uma transformação linear + um vetor de conversão.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

Pode ser aplicado a pontos individuais ou a linhas ou mesmo curvas de Bezier. Para linhas, ele preserva a propriedade de que linhas paralelas permanecem paralelas. Para curvas de Bezier, preserva a propriedade do casco convexo dos pontos de controle.

Multiplicado, produz 2 equações para obter um par de coordenadas "transformadas" partir do par original e uma lista de constantes . $(x', y')$ $(x, y)$ $(a, b, c, d, e, f)$

x^{'} = a \cdot x + c \cdot y + e y^{'} = b \cdot x + d \cdot y + f

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

Convenientemente, a transformação Linear e o vetor Translação podem ser reunidos em uma matriz 3D que pode operar sobre coordenadas homogêneas 2D.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

O que produz as mesmas 2 equações acima.

Muito convenientemente , as próprias matrizes podem ser multiplicadas juntas para produzir uma terceira matriz (de constantes) que realiza a mesma transformação que o 2 original faria em sequência. Simplificando, as multiplicações de matriz são associativas.

\begin{matrix} [\begin{matrix} x^{″} & y^{″} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} a \cdot x + c \cdot y + e & b \cdot x + d \cdot y + f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} g (a \cdot x + c \cdot y + e) + i (b \cdot x + d \cdot y + f) + k \\ h (a \cdot x + c \cdot y + e) + j (b \cdot x + d \cdot y + f) + m \\ 1 \end{matrix}]}^{T} \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a g + b i & a h + b j & 0 \\ c g + d i & c h + d j & 0 \\ e g + f i + k & e h + f j + m & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

Como alternativa, você pode considerar alguns tipos básicos de transformação e compor qualquer transformação mais complexa combinando-as (multiplicando-as juntas).

Transformação de identidade

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Dimensionamento

[\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

* Nota: uma reflexão pode ser realizada com parâmetros de escala ou . $(S_x, S_y) = (-1,1)$ $(1,-1)$

Tradução

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_{x} & T_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

Inclinar x por y

[\begin{matrix} 1 & Q_{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Inclinar y por x

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Rotação

[\begin{matrix} \cos θ & - s i n θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[Observe que eu mostrei o formulário de Matrix aqui que aceita um vetor de linha à esquerda . A transposição dessas matrizes funcionará com um vetor de coluna à direita.]

Uma matriz composta exclusivamente de redimensionamento, rotação e translação pode ser decomposta de volta nesses três componentes .

— luser droog
fonte

Ótima resposta. Você pode acrescentar que uma maneira de pensar em transformações afins é que elas mantêm linhas paralelas paralelas. Portanto, escala, rotação, translação, cisalhamento e combinações contam como afins. A projeção em perspectiva é um exemplo de transformação não afim.

— ap_

Você pode adicionar algumas fotos. Se você não quiser: P Também pode ser bom mencionar a ordem na matriz e a orientação da linha / coluna é arbitrária. E que as rotações em 3d não são comutativas.

— Joojaa

@joojaa eu fiz fotos! fontes postscript

— luser droog

Também vale a pena mencionar que as transformações de corpo rígido são um subconjunto de transformações afins e as transformadas afins são um subconjunto de transformações em perspectiva.

— user1118321

Continuo relendo isso de vez em quando e não sei dizer direito, mas posso ter as transformações de inclinação descritas incorretamente. Skews são confusos. Se alguém vir isso e quiser experimentar a edição, ajude a esclarecer essa parte!

— luser droog