É possível transformar uma matriz de rotação 3D (4x4) em seus componentes (rotação, escala, etc.)?

Para ser mais concreto, estou trabalhando em um aplicativo iOS e tenho uma CATransform3Destrutura (basicamente uma matriz de transformação 4x4).

É possível deduzir todas as diferentes "operações" que essa matriz implica? Coisas como quanta rotação, escala, etc. isso implica?

transformations

— elsurudo
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Você pode decompor a matriz em transformações básicas: conversão, dimensionamento e rotação. Dada esta matriz: $\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

M = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Você pode decompor a tradução por inspeção usando a última coluna . $\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

Para dimensionamento, sabemos que as três primeiras colunas da matriz correspondem às bases (eixos). Podemos obter a escala pelo comprimento / norma desses vetores, ou seja, quanto as bases foram dimensionadas. Portanto, a escala é que: $\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

\begin{matrix} s_{0} = ‖ (a_{00}, a_{10}, a_{20}) ‖ \\ s_{1} = ‖ (a_{01}, a_{11}, a_{21}) ‖ \\ s_{2} = ‖ (a_{02}, a_{12}, a_{22}) ‖ \end{matrix}

$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$

Agora você tem a escala, pode se livrar dela usando a sub-matriz que corresponde a multiplicando a matriz pelo inverso da escala para get $3\times 3$ $\mathbf{RS}$ $\mathbf{S}^{-1}$ $\mathbf{R}$

\begin{aligned} {(R S) S}^{- 1} & = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] {[\begin{matrix} s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & s_{2} \end{matrix}]}^{- 1} \\ = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 / s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / s_{2} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$

Assim ( ): $\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

R = [\begin{matrix} a_{00} / s_{0} & a_{01} / s_{1} & a_{02} / s_{2} \\ a_{10} / s_{0} & a_{11} / s_{1} & a_{12} / s_{2} \\ a_{20} / s_{0} & a_{21} / s_{1} & a_{22} / s_{2} \end{matrix}]

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$

Esta é a matriz de rotação final. Você pode decompor ainda mais usando várias maneiras. É muito demorado, mas você pode procurar decompor uma matriz de rotação .

Este método fornece apenas valores equivalentes na forma de translação, escala e rotação (a matriz original talvez seja o resultado de outros tipos de transformações). Pode haver problemas com a precisão do ponto flutuante nos ângulos de rotação, se você continuar usando os ângulos decompostos, erros de arredondamento podem se acumular nos cálculos. Você não deve usá-lo, a menos que não tenha construído a matriz.

Se você foi quem construiu a matriz e desejou a decomposição para poder editar e exibir a tradução, a escala e a rotação individualmente e independentemente , provavelmente o mais limpo é por que armazenar os componentes de , e em uma classe de transformação individualmente como vetores (talvez quaternion para a rotação). Somente quando você precisar da matriz de transformação, construa uma matriz partir desses componentes (você pode armazenar em cache a matriz até que algum componente seja alterado). $\mathbf{t}$ $\mathbf{s}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{TRS}$

— user5488
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Você pode esclarecer quais são os problemas com precisão de ponto flutuante? Não vejo nada neste método que possa causar problemas de precisão, a menos que a escala seja realmente extrema. Além disso, vale ressaltar que esse método pode falhar se a matriz for composta de uma sequência de matrizes que inclua escalas e rotações não uniformes. A matriz acabará não sendo uma rotação nesse caso, mas incluirá algum cisalhamento.

R

$\mathbf{R}$

— Nathan Reed

Todos os números de ponto flutuante têm erro intrínseco (limitado). Sempre que você executa operações, e particularmente adição ou subtração, você compõe o erro, aumentando a magnitude dos limites. Escondidas no algoritmo de decomposição estão muitas operações de adição (na multiplicação da matriz e no cálculo da magnitude da escala) e uma raiz quadrada (na escala). Uma decomposição adicional introduzirá mais erros.

— Timbo 16/11

@ Timbo Não existe aqui nenhuma multiplicação completa da matriz, basta multiplicar as colunas da matriz pelas escalas inversas. E uma magnitude vetorial envolve adicionar todas as quantidades positivas; portanto, não há cancelamento catastrófico lá; não produz muito erro relativo, AFAICT. De qualquer forma, o autor esclareceu que eles estão falando sobre decompor ainda mais a matriz de rotação em ângulos de Euler ou algo parecido, o que faz mais sentido.

— Nathan Reed

Obrigado - ótima resposta. Acompanhamento: para recuperar a matriz original, suponho que precisamos seguir uma certa ordem de operações, começando pela matriz de identidade. Esse pedido seria TRS?

— elsurudo