Qual é a diferença entre uma transformação de ponto e uma transformação de vetor?

11

Isto é o que meu professor me disse nos cursos:

Consideramos apenas matrizes 4 * 4. Eles são usados para girar, dimensionar ou converter objetos (ou qualquer combinação dessas operações). Matrizes também são usadas posteriormente na implementação do modelo de câmera virtual. Se você não souber a diferença entre uma transformação vetorial e uma transformação de ponto, procure-a.

Não consigo encontrar uma resposta e fiz uma conta para este site apenas para esta pergunta.

vectors

— SA
fonte

1

Em complemento a todas as outras respostas e porque outras pessoas já respondeu a esta pergunta de comprimento em outros lugares você pode verificar: scratchapixel.com/lessons/...

— user18490

9

Aqui está a resposta simples.

Em 4D, para poder multiplicá-los por uma matriz 4x4, os vetores são representados como (x, y, z, 0) e os pontos são representados como (x, y, z, 1).

Como a quarta linha de uma matriz 4x4 representa a conversão da matriz, as representações acima fazem com que os pontos sejam afetados pela conversão, mas os vetores não.

Os vetores e pontos são afetados pela rotação, escala, etc.

Embargo:

Há uma discussão mais profunda se você espera que os vetores tenham certas propriedades. Por exemplo, se você transformar o normal de um triângulo pela mesma matriz que transforma os vértices do triângulo, provavelmente não será mais o vetor normal desse triângulo. Isso ocorre porque os vetores normais têm uma espécie de relação inversa com os vértices dos quais são calculados.

— Alan Wolfe
fonte

As normais não funcionam porque não são vetores. Porém, não conheço uma boa introdução ao conceito.

— MB Reynolds

@MBReynolds Em um sentido matemático, os normais são tão vetores quanto pontos ou direções. O problema aqui é que as transformações que aplicamos aos pontos de uma superfície para transformá-los não se aplicam às normais.

— Nbro 18/01/19

2

normais de superfície são bivetores, não vetores. Podemos encontrar um normal pelo produto cruzado de dois vetores, o resultado é um bivetor. Veja por Vogensen: gist.github.com/pervognsen/c6b1d19754c2e8a38b10886b63d7bf2d

— MB Reynolds

4

$4 \times 4$ $4 \times 4$

$4 \times 4$

Agora, a pergunta é: como passamos de um sistema de coordenadas 3D para um sistema 4D ? A resposta é " coordenadas homogêneas ".

$4 \times 4$

$4 \times 4$ $4 \times 4$ $3D$

Como fazemos isso?

Distinguimos entre vetores de direção e posição . Os vetores de direção, como o nome sugere, têm uma direção na qual estão apontando; também nos preocupamos com o tamanho deles, mas eles não são afetados pelas traduções, pois não nos importamos com a posição deles. Os vetores de posição (ou simplesmente "pontos") podem ser traduzidos ou movidos; eles geralmente são representados em relação à origem, ou seja, como um vetor da origem até o próprio ponto.

$0$ $4$ $0$ $1$

$3D$ $v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}$ $v' = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ 0\end{pmatrix}$ $u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}$ $u' = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ 1\end{pmatrix}$

$3D$ $4th$ $1$ $0$

— nbro
fonte

(w x, w y, w z, w)

$(wx, wy, wz, w)$

w \neq 0

$w \ne 0$

(x, y, z)

$(x, y, z)$

w = 1

$w = 1$

w

$w$ usando multiplicação de matriz 4D também.

— Ilmari Karonen #

2

Se você procurar a definição de um vetor e um ponto, então um vetor é:

Uma quantidade, como velocidade, completamente especificada por uma magnitude e uma direção. http://www.thefreedictionary.com/vector

E um ponto é:

Um objeto geométrico sem dimensão que não possui propriedades, exceto localização. http://www.thefreedictionary.com/point

Então, você poderia dizer que um vetor é uma direção com escala e um ponto é um local.

Então, se você transformar um vetor, basta girá-lo e escalá-lo. Com um ponto, você também o converte (a rotação e o dimensionamento de um ponto estão em torno da origem, uma vez que emite apenas um local, o ponto em si não pode ser girado).

Na maioria das vezes, um vetor e um ponto são colocados no mesmo contêiner, um vetor com 4 componentes. A única diferença é o componente w. Se o componente w for 0, é uma direção. Se for 1, o vetor é um ponto.

A razão para isso pode ser encontrada na própria matriz. Ele utiliza a maneira como você multiplica um vetor com 4 componentes com uma matriz 4x4. Se você não sabe como isso funciona, sugiro um google rápido.

[\begin{matrix} r o t + s c a l e & r o t + s c a l e & r o t + s c a l e & t r a n s l a t i o n \\ r o t + s c a l e & r o t + s c a l e & r o t + s c a l e & t r a n s l a t i o n \\ r o t + s c a l e & r o t + s c a l e & r o t + s c a l e & t r a n s l a t i o n \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\rot+scale&rot+scale&rot+scale&translation\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

Como você pode ver, se o último componente for 0, você terá uma multiplicação com 0 e, portanto, o resultado será 0 e não haverá conversão.

Isso facilita na computação gráfica com objetos poligonais. Você tem a mesma matriz de transformação para transformar as posições, mas também as normais. Como os normais têm seu componente w definido como 0 e o componente w das posições é 1, os normais são apenas rotacionados (e também redimensionados, o que pode levar a coisas estranhas, portanto, na maioria das vezes, o normal é normalizado depois. Não é ' Na verdade, é recomendável usar a mesma matriz para posições e rotações por causa de coisas estranhas! Veja o comentário de @JarkkoL.) e as posições são traduzidas (e giradas e redimensionadas em torno da origem).

Espero não ter cometido um erro: P, e isso ajudou você!

— bram0101
fonte

2

As normais não são transformadas com a mesma matriz de transformação que as posições. Você precisa calcular o inverso da transposição da sub-matriz 3x3 para transformar adequadamente normais para transformações com escala e / ou inclinação não uniformes.

— perfil completo de JarkkoL

@JarkkoL sim, isso é verdade, você está certo com isso. É melhor não usar a mesma matriz, mas, dependendo da implementação, isso é feito. Na maioria das vezes, as pessoas não se importam tanto com a distorção das normais, porque elas não usam escala ou uniformidade não uniforme. Essa parte sobre transformar posições e normais era mais sobre o fato de poder ser útil usar um contêiner.

— bram0101