Idiomas decentes e gramáticas irrestritas?

Máquinas de Turing e gramáticas irrestritas são dois formalismos diferentes que definem as linguagens de ER. Algumas linguagens de ER são decidíveis, mas nem todas são.

Podemos definir as linguagens decidíveis com as máquinas de Turing dizendo que uma linguagem é decidível se houver uma TM para a linguagem que interrompa e aceite todas as strings no idioma e interrompa e rejeite todas as strings que não estão no idioma. Minha pergunta é a seguinte: existe uma definição análoga de linguagens decidíveis com base em gramáticas irrestritas ao invés de máquinas de Turing?

computability turing-machines formal-grammars

— templatetypedef
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Respostas:

Uma língua é decidível, se é semi-decidível e seu complemento é semi-decidível. Além disso, um idioma é recursivo-enumerável se for semi-decidível e, portanto, você poderá encontrar uma gramática irrestrita. Portanto:

$L$ $G$ $L(G) = L$ $\bar G$ $L(\bar G) = \bar L$

— Simon S
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Além disso, não são sinônimos "semi-decidíveis" e "recursivamente enumeráveis"?

— templatetypedef

1. O IIRC não possui uma classe conhecida de gramáticas formais correspondentes a idiomas decidíveis, portanto, não acho que isso seja possível com uma única gramática irrestrita. 2. Sim, eles significam o mesmo.

— Simon S

Você está enganado sobre a definição de decidibilidade. Decidível significa "existe uma máquina de Turing que calcula a resposta". A relação que você cita como definição é de fato um teorema, que ouvi atribuído a Emile Post.

— Andrej Bauer

Em seguida, semidecidabilidade e enumerabilidade recursiva não são sinônimos, mas são noções equivalentes. Um conjunto é semidecidável se for o conjunto de interrupção de uma máquina de Turing, enquanto é recursivamente enumerável se for enumerado por uma máquina de Turing.

— Andrej Bauer

1. Você está certo, a decisão não é necessariamente definida dessa maneira (mas pode ser) e, portanto, editei a resposta. 2. Foi por isso que escrevi "eles significam o mesmo", talvez "sinônimo" seja a palavra errada.

— Simon S

$\mathrm{R}$

toda classe útil de gramática é enumerável e
$\mathrm{R}$

Obviamente, o primeiro não é um teorema rigoroso (e não pode ser), é apenas uma conjectura julgadora. O conjunto de todas as gramáticas é enumerável e qualquer restrição que não seja decidível provavelmente não será muito útil; em particular, não será uma restrição sintática (como a de Chomsky).

O segundo é formalmente verdadeiro, veja também aqui .

Obviamente, as pessoas definiram essas restrições e essas classes têm seus usos, mas é ainda difícil ver se uma determinada gramática se enquadra em subclasses mais simples.

— Rafael
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Por que esse argumento também não se aplica às máquinas de Turing? Existe uma classe útil de TMs para R (os decisores), mesmo que não sejam enumeráveis.

— templatetypedef

@templatetypedef: O pensamento passou pela minha cabeça. 1) O conjunto de máquinas de Turing para R é um pouco "intangível". Indiscutivelmente, não é "útil" em nenhum sentido, exceto no mais teórico. 2) A MT é um modelo operativo, enquanto as gramáticas são mais um modelo declarativo (se generativo). Portanto, é improvável que exista uma propriedade tão "inútil" quanto a das R-TMs. (Novamente, isso é tudo o balbuciar baseado em intuição.)

— Raphael

Esta questão é abordada em um artigo de Henning Fernau de 1994. Henning afirma:

Como exemplo, consideramos a família de linguagens recursivas. É uma questão em aberto se existe uma caracterização gramatical "natural" dessa classe de linguagem. Como mostraremos a seguir, qualquer família gramatical que caracterize os idiomas recursivos deve ter algumas propriedades estranhas.

Dirigimos o leitor que está curioso para aprender sobre essas propriedades estranhas ao artigo.

— Yuval Filmus
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