Prova de confluência para um sistema de reescrita simples

Suponha que temos uma linguagem simples que consiste nos termos:

$\mathtt{true}$
$\mathtt{false}$
se são termos, o mesmo acontece com $t_1,t_2,t_3$ $\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$

Agora assuma as seguintes regras de avaliação lógica:

\begin{matrix} \frac{}{i f t r u e t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to t_{2}} [E-IfTrue] \frac{}{i f f a l s e t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to t_{3}} [E-IfFalse] \\ \frac{t_{1} \to t_{1}^{'}}{i f t_{1} t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to i f t_{1}^{'} t h e n t_{2} e l s e t_{3}} [E-If] \end{matrix}

$\begin{gather*} \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{true} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_2} \text{[E-IfTrue]} \quad \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{false} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_3} \text{[E-IfFalse]} \\ \dfrac{t_1 \to t_1'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1' \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3} \text{[E-If]} \\ \end{gather*}$

Suponha que também adicionemos a seguinte regra descolada:

\frac{t_{2} \to t_{2}^{'}}{i f t_{1} t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to i f t_{1} t h e n t_{2}^{'} e l s e t_{3}} [E-IfFunny]

$\dfrac{t_2 \to t_2'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2' \:\mathtt{else}\: t_3} \text{[E-IfFunny]}$

Para esta linguagem simples, com as regras de avaliação fornecidas, desejo provar o seguinte:

Teorema: Se $r \rightarrow s$ e $r \rightarrow t$ , existe algum termo $u$ tal que $s \rightarrow u$ e $t \rightarrow u$ .

Estou provando isso por indução na estrutura de $r$ . Aqui está a minha prova até agora, tudo funcionou bem, mas estou preso no último caso. Parece que a indução na estrutura de $r$ não é suficiente, alguém pode me ajudar?

Prova. Por indução em $r$ , separaremos todas as formas que $r$ pode assumir:

$r$ é uma constante, nada a provar, pois uma forma normal não avalia nada.
$r=$ se true então $r_2$ else $r_3$ . (a) ambas as derivações foram feitas com a regra E-IfTrue. Nesse caso, $s=t$ , então não há nada a provar. (b) uma derivação foi feita com a regra E-IfTrue, a outra com a regra E-Funny. Suponha que $r \rightarrow s$ foi feito com o E-IfTrue, o outro caso é comprovado de forma equivalente. Agora sabemos que $s = r_2$ . Também sabemos que $t =$ se verdadeiro, então $r'_2$ else $r_3$ e que existe alguma derivação $r_2 \rightarrow r'_2$ (a premissa). Se agora escolhermos $u = r'_2$ , concluiremos o caso.
$r=$ se falso, então else . Equivalentemente comprovado como acima. $r_2$ $r_3$
$r=$ se então else com verdadeiro ou falso. (a) ambas as derivações foram feitas com a regra E-If. Agora sabemos que se então else e se então else . Sabemos também que existe deriviations e (nas instalações). Agora podemos usar a hipótese de indução para dizer que existe algum termo tal que $r_1$ $r_2$ $r_3$ $r_1 \neq$ $s =$ $r'_1$ $r_2$ $r_3$ $t =$ $r''_1$ $r_2$ $r_3$ $r_1 \rightarrow r'_1$ $r_1 \rightarrow r''_1$ $r'''_1$ $r'_1 \rightarrow r'''_1$ e . Agora concluímos o caso dizendo se então else e percebendo que e pela regra E-If. (b) uma derivação foi feita pela regra E-If e uma pela regra E-Funny. $r''_1 \rightarrow r'''_1$ $u =$ $r'''_1$ $r_2$ $r_3$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

Neste último caso, em que uma derivação foi feita pelo E-If e uma pelo E-Funny é o caso que estou perdendo ... Parece que não consigo usar as hipóteses.

A ajuda será muito apreciada.

— codd
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@Gilles extremamente bem feito com a edição. Eu não sabia que o motor de TeX da SE era capaz de tudo isso ... :-)

— Codd

Estou errado ou este exercício foi retirado do Pierce "Types and Programming Languages"?

— Fabio F.

@FabioF. É de fato do livro Tipos e Linguagens de Programação de Pierce. Ele fornece uma prova que acho incerta, devido à maneira como ele realiza a indução. É por isso que tentei provar isso por indução na estrutura. Eu estava pensando em mencionar que era do livro, mas achei que isso seria bastante irrelevante. Bem notado, no entanto!

— Codd #

Respostas:

Ok, então vamos considerar o caso em que , foi derivado pela aplicação da regra E-If e foi obtido aplicando a regra E-Funny: Então, que e onde . $r = \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $s$ $t$ $s = \mathtt{if}\: t'_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $t_1 \rightarrow t'_1$ $t = \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t'_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $t_2 \rightarrow t'_2$

O que estamos procurando é . segue a regra E-Funny e segue a regra E-If. $u$ $u = \mathtt{if}\: t'_1 \:\mathtt{then}\: t'_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

— sepp2k
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Bata-me para isso. Bom trabalho.

— precisa saber é o seguinte

Puxa, eu estava realmente olhando muito longe ... Obrigado!

— Codd #

Você misturou-se, porém, Decorre E-engraçado. Ou estou vendo algo errado?

s \to u

$s \rightarrow u$

— Codde

@ Jeroen Você está certo - eu os misturei. Corrigido agora.

— sepp2k

Um pouco de terminologia pode ajudar se você quiser pesquisar isso: essas regras estão reescrevendo regras , elas não têm nada a ver com sistemas de tipos¹. A propriedade que você está tentando provar se chama confluência ; mais especificamente, é uma forte confluência : se um termo pode ser reduzido de maneiras diferentes em uma etapa, ele pode convergir de volta na próxima etapa. Em geral, confluência permite que haja qualquer número de etapas, e não apenas um: se e então há de tal modo que e - se um termo puder ser reduzido de maneiras diferentes, não importa o quanto eles divergam, eles poderão eventualmente voltar a convergir. $r\to^*s$ $r\to^*t$ $u$ $s\to^*u$ $t\to^*u$

A melhor maneira de provar uma propriedade dessas regras de reescrita definidas indutivamente é pela indução sobre a estrutura da derivação da redução, em vez da estrutura do termo reduzido. Aqui, ambos funcionam, porque as regras seguem a estrutura do termo esquerdo, mas o raciocínio sobre as regras é mais simples. Em vez de mergulhar no termo, você adota todos os pares de regras e vê qual termo pode ser o lado esquerdo de ambos. Neste exemplo, você obterá os mesmos casos no final, mas um pouco mais rápido.

No caso de problemas, um lado reduz a parte "se" e o outro lado reduz a parte "então". Não há sobreposição entre as duas partes que mudam ( em [E-If], em [E-IfFunny]) e não há restrições em em [E-If] ou em em [E-IfFunny]. Portanto, quando você tem um termo ao qual ambas as regras se aplicam - que devem ter o formato , você pode escolher para aplicar as regras em qualquer ordem: $t1$ $t_2$ $t_2$ $t_1$ $\mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3$

\begin{array}{rcl} i f r_{1} t h e n r_{2} e l s e r_{3} \\ [E-If] ↙ & ↘ [E-IfFunny] \\ i f r_{1}^{'} t h e n r_{2} e l s e r_{3} & i f r_{1} t h e n r_{2}^{'} e l s e r_{3} \\ [E-IfFunny] ↘ & ↙ [E-If] \\ i f r_{1}^{'} t h e n r_{2}^{'} e l s e r_{3} \end{array}

$\begin{array}{rcl} & \mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3 & \\ {\small \text{[E-If]}} \swarrow & & \searrow {\small \text{[E-IfFunny]}} \\ \mathtt{if}\: r_1' \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3 & & \mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2' \:\mathtt{else}\: r_3 \\ {\small \text{[E-IfFunny]}} \searrow & & \swarrow {\small \text{[E-If]}} \\ & \mathtt{if}\: r_1' \:\mathtt{then}\: r_2' \:\mathtt{else}\: r_3 & \\ \end{array}$

Sometimes _{Às vezes, você pode ver tipos e reescrever juntos, mas no fundo eles são conceitos ortogonais.}

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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