Podemos gerar números aleatórios usando números irracionais como π e e?

Números irracionais como $\pi$ , $e$ e $\sqrt{2}$ têm uma sequência única e não repetida após o ponto decimal. Se extrairmos o$n$ésimo dígito desses números (em que$n$é o número de vezes que o método é chamado) e fizermos um número com os dígitos atuais, não devemos obter um gerador de números aleatórios perfeito? Por exemplo, se estivermos usando$\sqrt{2}$ ,$e$e$\pi$, o primeiro número é 123, o segundo é 471, o próximo é 184 e assim por diante.

A desvantagem mais óbvia é a complexidade desnecessária dos algoritmos PRNG com base em números irracionais. Eles exigem muito mais cálculos por dígito gerado do que, digamos, um LCG; e essa complexidade geralmente aumenta à medida que você avança na sequência. O cálculo de 256 bits de π no bit de dois quadrilionésimos levou 23 dias em 1000 computadores (em 2010) - uma complexidade bastante proibitiva para um RNG.

Para qualquer definição razoável de perfeito, o mecanismo que você descreve não é um gerador de números aleatórios perfeito.

• Não repetir não é suficiente. O número decimal $0.101001000100001\dots$ não é repetitivo, mas é um terrível gerador de dígitos aleatórios, pois a resposta é "sempre" zero, ocasionalmente um, e nunca mais nada.

• Na verdade, não sabemos se cada dígito ocorre igualmente com frequência na expansão decimal de $\pi$ ou  $\mathrm{e}$ (embora suspeitemos que sim).

• Em muitas situações, exigimos que números aleatórios sejam imprevisíveis (de fato, se você perguntasse a uma pessoa aleatória o que "aleatório" significa, eles provavelmente diriam algo sobre imprevisibilidade). Os dígitos das constantes conhecidas são totalmente previsíveis.

• Geralmente, queremos gerar números aleatórios razoavelmente rapidamente, mas gerar dígitos sucessivos de constantes matemáticas tende a ser bastante caro.

• No entanto, é verdade que os dígitos de $\pi$ e  $\mathrm{e}$ parecem estatisticamente aleatórios, no sentido de que todas as sequências possíveis de dígitos parecem ocorrer com a frequência que deveria. Assim, por exemplo, cada dígito ocorre muito perto de uma vez em dez; cada sequência de dois dígitos muito próxima a uma em cem e assim por diante.

É criptograficamente inútil porque um adversário pode prever cada dígito. Também consome muito tempo.

( atualizado depois que muitas pessoas apontaram que o gerador de números aleatórios não é a mesma coisa que uma única sequência normal)

Se você perguntar se é possível obter uma sequência normal de $\pi$ (ou seja, todos os números aparecem uniformemente), existem várias respostas no excesso de matemática. Por exemplo, a resposta sobre Distribuição dos dígitos do Pi diz:

... acredita - se que $\pi$ é um número normal (~ distribuição uniforme de cada sequência de dígitos).

Para dados de distribuição de dígitos, consulte, por exemplo, http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies ou https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (primeiros 1000 dígitos):

No mathoverflow, também existem boas respostas em:

• Qual é o estado de nossa ignorância sobre a normalidade de pi?
• Pi contém 1000 zeros consecutivos?

Em geral, essa abordagem não funciona: "aleatoriedade" não significa que você tenha muitos dígitos diferentes, mas também há outros aspectos. Por exemplo, um teste clássico é verificar se todas as combinações de dois ou três dígitos etc. ocorrem com a mesma frequência. Este seria um teste muito simples, que pode excluir resultados óbvios não aleatórios, mas ainda é muito simplista para verificar se há realmente um comportamento aleatório.

Consulte a página da Wikipedia sobre testes de aleatoriedade como uma coleção de links para fontes primárias sobre isso. Eles mencionam uma boa quantidade de conceitos que parecem bastante complicados; não é tão importante entrar em detalhes profundos sobre isso - mas é claro que não é intuitivamente possível declarar um número específico como uma boa fonte para esses dígitos.

Em uma nota positiva: para um número irracional específico, você é livre para apenas tentar; ou seja, calcule o número com um grau suficientemente grande de dígitos e execute-o em todos os testes conhecidos (existem ferramentas para isso, veja o link acima). Se a medida for boa o suficiente para o seu caso de uso, e se você estiver ciente de que isso é obviamente inútil para aplicativos criptográficos, sempre obtenha os mesmos números se você começar de novo e que a qualidade poderá diminuir se você superar a nque escolheu para testar a aleatoriedade, você pode usar esses números. Mas será muito melhor usar um gerador de números aleatórios dedicado (pseudo-); e nada supera uma boa fonte física de aleatoriedade.

Ele fornece um bom número aleatório até você perceber como foi produzido, como acontece com muitos números pseudo-aleatórios. Os números irracionais (não algébricos e não transcendentais) que você escolheu são comuns e mais fáceis de adivinhar do que outros. Não vejo nenhum problema com esse método, desde que você escolha geradores menos comuns.