Um procedimento para classificação topológica, prova de sua correção

Definição: Uma invariante preservada de uma máquina de estado é um predicado,$P$, nos estados, de modo que sempre que $P(q)$ é verdade para um estado, $q$e $q \rightarrow r$para algum estado, , então é válido.$r$$P(r)$

Definição: Um gráfico de linhas é um gráfico cujas bordas estão todas em um caminho.

Definição: Formalmente, uma máquina de estados nada mais é do que uma relação binária em um conjunto, exceto que os elementos do conjunto são chamados de "estados", a relação é chamada de relação de transição e uma seta no gráfico da relação de transição é chamado de transição. Uma transição do estado para o estado será gravada .$q$$r$$q \rightarrow r$

DAG : Gráfico Acílico Dirigido

O procedimento a seguir pode ser aplicado a qualquer gráfico direcionado, :$G$

1. Exclua uma aresta que está em um ciclo.
2. Exclua a aresta se houver um caminho do vértice para o vértice que não inclua .$<u \rightarrow v>$$u$$v$$<u \rightarrow v>$
3. Adicione a aresta se não houver um caminho em nenhuma direção entre o vértice e o vértice .$<u \rightarrow v>$$u$$v$

Repita essas operações até que nenhuma delas seja aplicável.

Este procedimento pode ser modelado como uma máquina de estado. O estado inicial é$G$, e os estados são todos os dígitos possíveis com os mesmos vértices que $G$.

(b) Prove que, se o procedimento terminar com um dígrafo,$H$, então $H$ é um gráfico de linhas com os mesmos vértices que $G$.

Dica: mostre que se $H$ não é um gráfico de linhas, algumas operações devem ser aplicáveis.

(c) Prove que ser um DAG é um invariante preservado do procedimento.

(d) Prove que, se$G$ é um DAG e o procedimento termina, então a relação de caminhada do gráfico de linhas final é um tipo topológico de $G$.

Dica: verifique se o predicado $P(u,v)$:: existe um caminho direcionado de $u$ para $v$ é um invariante preservado do procedimento, para quaisquer dois vértices $u, \ v$ de um DAG.

(e) Prove que, se$G$ é finito, o procedimento termina.

Dica: vamos $s$ seja o número de ciclos, $e$ ser o número de arestas e $p$seja o número de pares de vértices com um caminho direcionado (em qualquer direção) entre eles. Observe que$p \leq n^2$ Onde $n$ é o número de vértices de $G$. Encontre coeficientes$a,b,c$ de modo que, como + bp + e + c, é um número inteiro não negativo e diminui a cada transição.

Meus problemas:

Fiquei preso com problemas $d$ e $e$ mas soluções para outros problemas também são bem-vindas.

Em problema $d$, Não consegui entender a dica e por que ela é fornecida, como ela ajuda .

No meu caminho para provar $d$, Estou tentando mostrar que o procedimento dado sempre preserva a ordem dos vértices, associados às arestas, no gráfico inicial $G$. Portanto, um gráfico de linhas é automaticamente uma classificação topológica, pois a "ordem de precedência" dos vértices é preservada.

Mas número do procedimento $3$é problemático, como mostrar que preserva a precedência?

b. Como operação$1$ não pode ser realizado, $H$deve ser um DAG. Considere um tipo topológico de$H$. Como$3$ não pode ser realizado, se $u$ precede $v$ no tipo topológico, existe um caminho de $u$ para $v$. Comece no vértice inicial da classificação e continue avançando até encontrarmos um vértice com mais de uma aresta de saída (se cada vértice tiver apenas uma saída, será um gráfico de linhas). Deixei$u$ tem arestas para $v$ e $w$ e deixar $v$ preceder $w$. Então há caminho de$v$ para $w$, que fornece um caminho de $u$ para $w$ isso não inclui $u \rightarrow w$, uma contradição como operação $2$ pode ser realizado aqui.

c. Como a exclusão de arestas não altera a propriedade DAG, precisamos apenas verificar$3$. Um ciclo é formado apenas quando adicionamos uma aresta$u \rightarrow v$, quando havia um caminho de $v$ para $u$já. Como$3$ não adiciona essas arestas, o DAG é mantido.

d. Deixei$H$ ser obtido de $G$por uma única operação. Mostramos que qualquer tipo topológico de$H$ também é válido para $G$(observe que o inverso não precisa ser verdadeiro). Para isso, precisamos mostrar que, se houvesse um caminho de$u$ para $v$ no $G$, então há caminho de $u$ para $v$ no $H$também. Algum caminho pode ser quebrado apenas quando estamos removendo bordas. Tão claramente operação$3$não causará nenhum problema aqui. Também em$2$, estamos apenas removendo essas arestas $u \rightarrow v$ de onde já existe um caminho $u$ para $v$. Portanto, para qualquer caminho de$w$ para $z$, contendo essa aresta, podemos apenas substituir essa aresta pelo caminho de $u$ para $v$, mantendo um caminho de $w$ para $z$ no $H$. E$G$ é DAG, então $1$ nunca acontece.

e Primeiro observe como cada um$s$, $e$ e $p$mude a cada operação. Com operação$1$, $s$ reduz em pelo menos $1$, $e$ reduz em $1$ e $p$ pode diminuir perto de $n^2$(quase todos os caminhos podem estar quebrados). Com$2$, $s$ pode reduzir em $1$ (não é necessário) $e$ reduz em $1$ e $p$permanece inalterado. Com$3$, $s$ não muda $e$ aumenta em $1$ e $p$ aumenta em pelo menos $1$. Observe que, ao avançarmos para o gráfico de linhas, estamos tentando reduzir o número de arestas ($e$), remova os ciclos ($s$) enquanto aumenta $p$. Então em$as+bp+de+c$, nós esperamos $a$ e $d$ ser positivo e $b$ser negativo. O pior caso muda em$s,e,p$ para cada operação são

$$\begin{array}{cccc} & s & e & p \\ 1. & -1 & -1 & -n^2 \\ 2. & 0 & -1 & 0 \\ 3. & 0 & 1 & 1 \end{array}$$

Como $s$ nunca aumenta, podemos fazer $a$tão grande quanto queremos. Como podemos escalar$a,b,d$ por uma constante, vamos manter $d=1$. Com essas observações, podemos obter um conjunto possível de valores para$a,b,d$ Como $2n^2$, $-2$ e $1$ respectively. And pick $c$ as negative of the value at line graph.