Síntese do programa, decidibilidade e o problema da parada

Eu estava lendo uma resposta para uma pergunta recente, e uma espécie de pensamento estranho e efêmero veio à minha mente. Pedir isso pode revelar que minhas faltas teóricas estão seriamente ausentes (principalmente verdadeiras) ou que ainda é muito cedo para ler este site. Agora, com o aviso fora do caminho ...

É um resultado bem conhecido a teoria da computabilidade de que o problema da parada não pode ser decidido para as MTs. No entanto, isso não exclui a possibilidade de existirem máquinas que possam resolver o problema de parada de determinadas classes de máquinas (apenas não todas).

Considere o conjunto de todos os problemas decidíveis. Para cada problema, existem infinitas TMs que decidem esse idioma. Poderia ser possível o seguinte

Existe uma TM que decide o problema de parada para um subconjunto de máquinas de Turing; e $S$
Todos os problemas decidíveis são decididos por pelo menos uma máquina de Turing em ? $S$

Obviamente, encontrar a máquina de Turing em pode não ser computável; mas ignoramos esse problema. $S$

EDIT: Com base na resposta de Shaull abaixo, parece que (a) essa idéia é muito mal especificada para ser significativa ou (b) minha tentativa anterior não foi totalmente correta. Como eu tento elaborar nos comentários a resposta de Shaull, minha intenção não é que estamos garantiu que o TM entrada está em . O que realmente quis dizer com a minha pergunta é se poderia existir um , de tal forma que a associação a seja um problema decidível . O programa para resolver o problema de parada de gravaria, presumivelmente, "entrada inválida" na fita ou algo assim, quando receber uma entrada que reconheça como não estando em $S$ $S$ $S$ $S$ $S$ . Quando o formulo dessa maneira, não tenho certeza se isso nos permite resolver o problema da parada ou não, ou se o teorema de Rice se aplica (a decidibilidade é uma propriedade semântica de uma linguagem com base no teorema de Rice?)

turing-machines undecidability halting-problem

— Patrick87
fonte

acho que há uma questão legítima / significativa nos limites da teoria oculta aqui em algum lugar, mas não na forma atual, no entanto, +1 por tentar [e esse aviso no início é surpreendente, considerando seu status de representante / moderador] ... talvez seja esse a pergunta que você estava lendo? algoritmo para resolver turings problema da parada

— vzn

possivelmente outra maneira de formular a pergunta, não sei se essa foi a intenção (o que a torna muito avançada). considere todos os possíveis "quase-algoritmos" e seus conjuntos reconhecidos associados

. [veja outra pergunta para defns]. a união de todos esses conjuntos reconhecidos

igual ao conjunto de todas as TMs recursivas / decidíveis?

S_{n}

$S_n$

S_{n}

$S_n$

— vzn

Eu acho que pode haver um problema com a formulação do problema.

Considere o conjunto é um determinante de seu idioma . O problema da parada é decidível para este conjunto (ou seja, se formos prometidos que a entrada está nesse conjunto). De fato, é trivial (as máquinas em sempre param). $S=\{M: M$ $\}$ $S$

Além disso, claramente todas as línguas decidable está em . $S$

EDIT: Com base nas mudanças na pergunta - de fato, a participação em seria indecidível: se contiver uma máquina para cada idioma decidível, então . Assim, pelo teorema de Rice, se é decidível, então contém todas as máquinas, mas depois o problema da parada é indecidível em . $S$ $S$ $S\neq \emptyset$ $S$ $S$ $S$

— Shaull
fonte

Em outras palavras,

trivialmente responde positivamente à pergunta.

S = {⟨ A ⟩ ∣ \forall x . A (x) ↓, L (A) \in R}

$S = \{\langle A \rangle \mid \forall x. A(x) \downarrow, L(A) \in \mathrm{R}\}$

— Raphael

@ Rafael - não, porque enquanto

, isso não implica que

seja uma decisão. É por isso que explicitamente tomamos decisões.

L (A) \in R

$L(A)\in R$

A

$A$

— quer

Ah, certo. Corrigido o comentário.

— Raphael

+1 Não tenho certeza se comuniquei claramente meu significado. O que eu realmente queria dizer para perguntar era se é possível que tal

existe, e podemos verificar uma arbitrária TM para ver se ele está em

. Não sabemos a priori que esteja em

; apenas que

é formulado de tal maneira que podemos verificar. Em outras palavras, é possível que exista um

modo que a participação em

seja decidível? Além disso, sua última frase é um pouco confusa;

é um conjunto de máquinas de Turing (bem, suas representações); não das línguas que as TMs decidem ... mas acho que sei o que você quer dizer.

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— precisa saber é o seguinte

(ps Desculpe sobre começar seu nome errado em minhas edições Seu ser muito cedo para eu fazer CS.SE está começando a aparecer cada vez mais provável.)

— Patrick87