Problema de interpretação simples em relação à hierarquia polinomial?

Portanto, representa problemas nos quais temos pequenas testemunhas verificáveis para instâncias e para pequenas testemunhas verificáveis para instâncias. Como isso funciona para $NP$ $YES$ $coNP$ $NO$

$P^{NP}$
$NP^{NP}$
$coNP^{NP}$
e assim por diante?

complexity-theory np

— T ....
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Respostas:

Há uma interpretação lógica dos vários níveis da hierarquia polinomial, que estende a caracterização de testemunha de e . $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Um idioma está em se houver um predicado de politempo e um polinômio tal que Aqui: $L$ $\Sigma_k^P$ $f$ $\ell$

x \in L \Leftrightarrow \exists | y_{1} | \leq ℓ (| x |) \forall | y_{2} | \leq ℓ (| x |) \dots Q | y_{k} | \leq ℓ (| x |) f (x, y_{1}, \dots, y_{k}) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y_1| \le \ell(|x|) \; \forall |y_2| \le \ell(|x|) \; \cdots Q |y_k| \le \ell(|x|) \; f(x,y_1,\ldots,y_k).$

$\exists |y| \le \ell(|x|)$ significa que existe um número cujo comprimento é no máximo tal que ... $y$ $\ell(|x|)$
$\forall |y| \le \ell(|x|)$ significa que, para todo cujo comprimento seja no máximo , o seguinte é válido ... $y$ $\ell(|x|)$
$Q$ é se for ímpar e se for par. $\exists$ $k$ $\forall$ $k$

Da mesma forma, está em se puder ser escrito de maneira semelhante, começando apenas com . $L$ $\Pi_k^P$ $\forall$

Como exemplo, é e consiste em todos os idiomas, de modo que Como outro exemplo, é . $\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$ $\Sigma_2^P$

x \in L \Leftrightarrow \exists | y_{1} | \leq ℓ (| x |) \forall | y_{2} | \leq ℓ (| x |) f (x, y_{1}, \dots, y_{k}) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y_1| \leq \ell(|x|) \; \forall |y_2| \leq \ell(|x|) \; f(x,y_1,\ldots,y_k).$

{c o N P}^{N P}

$\mathsf{coNP}^{\mathsf{NP}}$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^P$

Seu terceiro exemplo é , que é . Não sei qual é a caracterização lógica. $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ $\Delta_2^P$

— Yuval Filmus
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Este post antigo do MO possui algumas caracterizações de , embora nenhuma pareça puramente lógica. Pode ser possível escrever um deles de forma puramente lógica.

Δ_{2}^{P}

$\Delta_2^P$

— Lagarto discreto

@YuvalFilmus Você poderia ser mais detalhado sobre isso, pelo menos por

N P^{N P}

$NP^{NP}$ ?

— T ....

Dizer $\mathsf{NP}$ contém problemas com "pequenas testemunhas verificáveis" é conceitualmente imprecisa. As testemunhas são limitadas apenas polinomialmente porque queremos que o verificador seja eficiente (ou seja, executado em tempo polinomial). Nesse cenário, apenas um prefixo polinomialmente longo de qualquer testemunha pode ser relevante; daí, por que insistimos em testemunhas polinomialmente longas. Além disso, "pequeno" significa potencialmente constante ou logarítmico; essas não são usadas, é claro, porque podem ser forçadas de maneira bruta por algoritmos de tempo polinomial (e apenas nos dão problemas em $\mathsf{P}$ )

A maneira como a noção de sistema de prova de $\mathsf{NP}$ generaliza para produzir a hierarquia polinomial é muito parecido com o ponto de vista lógico que Yuval Filmus descreve em sua resposta. Deixe-me apresentar a visão menos técnica por trás disso.

Consideramos jogos de duas partes baseados em QBFs. Uma instância (ou o "tabuleiro", se você quiser imaginá-lo como um jogo de tabuleiro como xadrez ou damas) de um jogo desse tipo é uma fórmula $\varphi(x_1, y_1, \ldots, x_m, y_m)$ e os dois jogadores dizem $A$ e $B$ , revezando-se escolhendo valores para $x_i$ e $y_i$ , respectivamente. Cada uma dessas escolhas constitui um movimento . Quando não restam mais valores, a fórmula (ou seja, a posição final do jogo) é avaliada; $A$ vence se for verdade e $B$ ganha se for falso.

Este jogo modela quantificadores existenciais e universais da seguinte maneira: Se a fórmula for um verdadeiro QBF, então $A$ (que desempenha o papel de quantificadores existenciais) sempre terá uma estratégia vencedora e poderá escolher uma série de $x_1, \ldots, x_m$ que causa $\varphi$ para ser verdade, independentemente dos valores $y_1, \ldots, y_m$ escolhido por $B$ (que desempenha o papel de quantificadores universais). As instâncias "yes" são aquelas nas quais o QBF é verdadeiro, ou seja, $A$ sempre tem uma estratégia vencedora, independentemente de como $B$ tocam.

$\Sigma_i$ e $\Pi_i$ correspondem então a jogos que duram $i$ movimentos e em que $A$ e $B$ , respectivamente, comece primeiro. Na verdade, você ainda recebe $\textsf{PSPACE}$ e a $\textsf{PH} \subseteq \textsf{PSPACE}$ inclusão como bônus, uma vez que corresponde à classe de jogos que se prolongam por um número arbitrário (embora predeterminado) de jogadas.

Note também que $\Sigma_1 = \mathsf{NP}$ e $\Pi_1 = \mathsf{coNP}$ são casos bastante degenerados desses jogos porque $B$ e $A$ , respectivamente, não têm a chance de se mover! Por exemplo, para as instâncias "yes" de $\Pi_1 = \mathsf{coNP}$ , $A$ consegue vencer simplesmente sem fazer nada (já que uma instância "yes" é uma tautologia e é verdadeira independentemente do que $B$ escolhe).

Há também uma versão mais generalizada do anterior, baseada em jogos genéricos (e não especificamente em QBFs). Você pode encontrá-lo, por exemplo, na seção 5.4 "PSPACE e jogos" de "Complexidade computacional: uma perspectiva conceitual" de Goldreich ( aqui está um link gratuito para a versão preliminar; consulte a página 174 e as páginas 118–121) .

— dkaeae
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Obrigado. Como as propriedades do jogo refletem

P^{N P}

$P^{NP}$ ,

N P^{N P}

$NP^{NP}$ e

c o N P^{N P}

$coNP^{NP}$ (como há uma testemunha curta de comprimento polinomial para cada movimento

A

$A$ faz ou algo assim?)

— T ....

Na versão genérica do livro de Goldreich que mencionei, você pode achar que precisamos das seguintes especificações: 1. "cada movimento tem um comprimento de descrição que é delimitado por um polinômio no comprimento da posição inicial "; 2. a atualização da posição atual pode ser feita em tempo polinomial (conforme o comprimento da posição inicial); 3. determinar o vencedor da posição final leva tempo polinomial. Tudo isso é cumprido pelo jogo QBF.

— dkaeae 11/07/19

"As testemunhas [para NP] são limitadas polinomialmente porque queremos que o verificador seja eficiente (ou seja, executado em tempo polinomial)". Isso não é verdade. A verificação ocorre no tempo polinomial em relação à duração da testemunha, para que a testemunha seja "eficientemente" verificável, independentemente de quanto tempo ela seja. Exigimos que a testemunha seja polinomialmente limitada, porque isso corresponde ao tempo polinomial da MT não determinística que a testemunha está testemunhando.

— David Richerby

@DavidRicherby Na verdade, para TMs não determinísticas (offline), é irrelevante se a entrada não determinística é limitada ou não (ou seja, uma sequência infinita). Nesse cenário,

N P

$\mathsf{NP}$ é o conjunto de problemas decidíveis em uma quantidade polinomial de etapas no comprimento da entrada. O fato de esse também ser um polinômio no número de bits não determinísticos usados é um efeito colateral (desejável). Para o não determinismo online, mais ainda. A duração da testemunha é ditada pelo tempo limite, e não o contrário.

— dkaeae 11/07/19

@ThomasKlimpel De fato, eu quis dizer

Σ_{i}

$\Sigma_i$ . Obrigado por apontar isso. Também obrigado por fornecer uma resposta perspicaz; Eu não sabia que havia uma caracterização lógica (pelo menos parcialmente) "agradável" de

Δ_{i}

$\Delta_i$ (e não conseguiu encontrar nenhum na literatura) +1

— dkaeae 16/07/19

$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ é o fechamento de $\mathsf{NP}$ sob tempo polinomial Reduções de Turing (= Reduções de Cook). Portanto, está fechado nas reduções de Cook, para que tenhamos $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}}$ . De fato, para qualquer oráculo $\mathsf{A}$ , definimos $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$ como o fechamento de $\mathsf{A}$ nas reduções de Cook, e sempre temos $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ e $\mathsf{NP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{NP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ . Além disso $\mathsf{coNP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{coNP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$ e $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{coNP}}$ . Mas as reduções de Cook parecem um pouco antinaturais para problemas de decisão.

Observe que $\mathsf{P}$ é uma classe de função disfarçada e que $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ também é uma classe de função disfarçada. Vamos escrever $\mathsf{PF}$ para a classe de funções parciais computáveis em tempo polinomial, ou seja, a classe de função correspondente a $\mathsf{P}$ e $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ para a classe de função correspondente a $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ . A inclusão de funções parciais permite usar a notação estabelecida (usada em A. taxman da complexidade classes de funções de A. Selman, 1994) que evita o conflito de nomes com a classe não relacionada $\mathsf{FP}$ .

A redução de cozimento parece mais natural para as classes de funções. Você provavelmente encontrou uma redução de Cook (e implicitamente também a classe $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ ) no ponto em que seu livro ou professor explicou por que não há problema em analisar apenas os problemas de decisão. Normalmente, algo como um algoritmo (de $\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$ ) para calcular a última atribuição lexicograficamente satisfatória de uma determinada instância SAT é descrita. Primeiro, pergunta-se ao oráculo se existe alguma atribuição satisfatória e depois determina os valores das variáveis (binárias) $x_k$ perguntando sucessivamente ao oráculo se existe uma tarefa satisfatória onde $x_1,\dots,x_{k-1}$ são definidos com os valores já determinados e $x_k$ está configurado para $1$ . Se sim, então um define $x_k$ para $1$ , caso contrário, um define $x_k$ para $0$ . (Observe que essa é uma função parcial, pois a função é indefinida caso não haja uma atribuição satisfatória.)

Deixe-me tentar dizer algumas palavras sobre a observação de Yuval Filmus:

Seu terceiro exemplo é $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$ , qual é $\Delta_2^P$ . Não sei qual é a caracterização lógica.

Há duas dificuldades a serem superadas: (1) a caracterização de uma classe de função tem uma sensação diferente da caracterização lógica de uma classe de decisão e (2) pelo menos para $\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$ temos que modelar o caráter determinístico das consultas para o oráculo $\mathsf{A}$ .

Se olharmos para a classe $\mathsf{UPF}$ de funções parciais correspondentes à classe $\mathsf{UP}$ problemas de decisão primeiro, então podemos ignorar (2) por um momento: uma função parcial $pf$ é em $\mathsf{UPF}^{\Sigma_k^P}$ se houver uma função parcial polytime $p$ , um predicado polytime $f$ e um polinômio $\ell$ de tal modo que $pf(x)=p(x,z)$ Onde

\exists_{\leq 1} | z | \leq ℓ (| x |) p (x, z) \neq ⊥ \land \exists | y_{1} | \leq ℓ (| x |) \forall | y_{2} | \leq ℓ (| x |) \dots Q | y_{k} | \leq ℓ (| x |) f (x, y_{1}, \dots, y_{k}, z) .

$\exists_{\leq 1} |z|\le \ell(|x|)p(x,z)\neq\bot\land\exists |y_1| \le \ell(|x|) \; \forall |y_2| \le \ell(|x|) \; \cdots Q |y_k| \le \ell(|x|) \; f(x,y_1,\ldots,y_k,z).$ Aqui:

$\exists |y| \le \ell(|x|)$ significa que existe um número $y$ cujo comprimento é no máximo $\ell(|x|)$ de tal modo que ...
$\forall |y| \le \ell(|x|)$ significa que para todos $y$ cujo comprimento é no máximo $\ell(|x|)$ , o seguinte contém ...
$Q$ é $\exists$ E se $k$ é estranho e $\forall$ E se $k$ é par.

Pode-se tentar superar (2) introduzindo os operadores $\operatorname{BIT}(z,i):=z[i]$ e $\operatorname{TRUNC}(z,i):=z\left|_{[1,i)}\right.$ . Mas ainda assim seria feio, e pode-se argumentar se isso realmente constituiria uma caracterização lógica.

— Thomas Klimpel
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