O Hidoku NP está completo?

Um Hidoku é uma grade com alguns números inteiros pré-preenchidos de 1 a . O objetivo é encontrar um caminho de números inteiros sucessivos (de 1 a ) na grade. Mais concreto, cada célula da grade deve conter um número inteiro diferente de 1 a e cada célula com valor deve ter uma célula vizinha com valor (também pode ser na diagonal). $n \times n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $z ≠ n^{2}$ $z + 1$

É NP difícil decidir se um Hidoku é solucionável? Que redução poderia ser usada?

Edit: de acordo com os comentários, dou um pequeno esclarecimento. Dada a grade de células, algumas delas já contêm valores (números inteiros de 1 a n²). Devemos preencher todas as células restantes com números inteiros de 1 a , de modo que não haja duas células com o mesmo valor e que cada célula com valor tenha um vizinho com valor . Ou seja, depois de preencher as células, devemos encontrar o caminho . Na grade, que visita logicamente cada célula. $n^2$ $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

Um exemplo de um Hidoku seria http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif . Um Hidoku já resolvido é http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif , onde você pode ver o caminho ao qual eu estava me referindo.

complexity-theory reductions np-hard

— ipsec
fonte

Intuitivamente, sem pensar muito nisso, soa polytime solucionável à primeira vista. Algo como programação dinâmica nos valores permitidos ( ) e nos vértices ( ). Soa solucionável no tempo .

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— precisa

Isto pode ser modelado como equivalentemente gráfico, a ligação dos nós com bordas se eles são sucessores em

. Então, você está procurando um caminho de Hamilton. De acordo com os caminhos de Hamilton nos gráficos de grade de Itai et al. (1982) esse problema é NP-completo em gráficos de grade. Isso não se ajusta imediatamente ao seu problema, pois você permite conexões diagonais, mas é um mau presságio.

N

$\mathbb{N}$

— Raphael

@Raphael não é o gráfico construído um DAG?

— Pål GD

Não vejo como isso é um DAG. Pelo que entendi, a entrada é um gráfico de grade (não direcionado) (contendo também bordas diagonais) e o objetivo é encontrar um caminho hamiltoniano, onde é dada a posição de alguns nós no caminho.

— George

@ George Okey, interpretei a pergunta como encontrar o caminho máximo para aumentar os valores em uma grade!

— Pål GD

Respostas:

Penso que é -completo: como notado por Raphael, ciclo hamiltoniano em gráficos de grelha com furos problema é NP-completo ( Alon Itai, Christos Papadimitriou, Jayme Luiz Szwarcfiter: Hamilton Caminhos em grade Gráficos SIAM J. Comput.. 11 (4): 676-686 (1982) ). $\sf{NP}$

Assim, dado um gráfico de grade com furos, você pode facilmente criar um jogo Hidoku equivalente, onde as células fixas iniciais preenchem todas as diagonais pares; as diagonais ímpares vazias formam um gráfico não direcionado equivalente ao gráfico de grade original e o Hidoku tem uma solução se e somente se o gráfico de grade original tiver um caminho hamiltoniano. $G$ $G$

insira a descrição da imagem aqui

Figura 1: um gráfico de grade com furos e o quebra-cabeça equivalente Hidoku (células azuis representam as células numeradas fixas iniciais ( é a primeira, é a última), células brancas são as células que o jogador deve preencher, linha roxa indica a sequência das células numeradas fixas iniciais). $12 \times 12$ $1$ $144$

Linhas auxiliares (preenchidas) podem ser adicionadas ao lado inferior ou direito para torná-lo um quadrado.

Outro exemplo de redução de um gráfico de grade para um quebra-cabeça Hidoku: o gráfico de grade 6x4 é incorporado em uma grade 13x13 maior; as diagonais pares são preenchidas com números fixos e as células livres restantes são equivalentes ao gráfico de grade original.

insira a descrição da imagem aqui

A imagem completa com a transformação pode ser baixada aqui .

Algumas notas adicionais para completar a resposta:

o problema também é conhecido como Hidato ; a placa pode ter uma forma arbitrária (mas, como generalização da caixa quadrada, ela permanece NP-hard);
como corretamente evidenciado por Steven Stadnicki em sua resposta não é óbvio que o problema está em NP se a grade inicial parcialmente preenchido não é dado como um array de inteiros, mas é dada em alguns sucinta representação; no entanto, é claramente em NP se o quadro inicial é fornecido usando a lista razoável de representação de números inteiros; $n \times n$
Eu acho que as regras originais do jogo dizem que a solução deve ser única ; então o problema está nos EUA (difícil nos EUA ) e é improvável que esteja no NP.

$n^2$ $\sf{NP}$

— Vor
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Isso não é um DAG? Eu entendi completamente a pergunta?

— Pål GD

@ PålGD: não, não acho que seja um DAG, é um gráfico de grade sem direção com bordas diagonais. O jogo começa com um tabuleiro parcialmente cheio e o jogador deve começar a partir da célula 1 e chegar ao último fazendo etapas ortogonais ou diagonais (mas talvez eu não lembre as regras muito bem ... agora eu verifiquei)

— Vor

Mas diz "encontre um caminho de números inteiros sucessivos".

— Pål GD

Talvez isso simplesmente significa que ele não pode visitar o mesmo celular duas vezes, e que todas as células devem ser visitados

— Vor

1

$1$

n^{2}

$n^2$

$n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ $o(n)$

$\Omega(n)$

(Para uma discussão de questões semelhantes, veja minha pergunta sobre a complexidade de um sucinto Nurikabe no site cstheory.SE.)

— Steven Stadnicki
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Não especificar o tamanho da placa em unário me parece uma interpretação irracional.

— David Eisenstat

@DavidEisenstat Não é necessariamente a interpretação natural , mas parece perfeitamente válida para mim.

— Steven Stadnicki

@StevenStadnicki: Concordo com você. Fiz uma anotação semelhante na prova de completude de NP do Binary Puzzle, que publiquei recentemente em cstheory.stackexchange.com. Embora a representação não unária não seja de fato tão razoável :-). Vou adicionar uma nota na minha resposta. E também devo abordar o problema da singularidade da solução; porque acho que as regras originais dizem que a solução deve ser única.

— Vor