O problema do universo dos autômatos de balcão é indecidível?

Considere o seguinte problema no universo .

O problema do universo. Dado um conjunto finito para uma classe de idiomas e um autômato que aceita o idioma , decida se .$\Sigma$$L$$L=\Sigma^*$

Em [1], é afirmado e provado que o problema do universo é indecidível para uma classe específica de autômatos de balcão. Este resultado segue para a classe de todos os autômatos não determinísticos de um contador. Gostaria de saber se é sabido se esse problema ainda é indecidível quando restringimos o tamanho do alfabeto de entrada do autômato.

Eu acho que com o tamanho do alfabeto 1 o problema se torna decidível, mas e o tamanho 2? E se isso for decidido, qual é o menor valor de modo que o problema seja indecidível.$n \in \mathbb{N}$

Eu acho que é provável que a resposta a esta pergunta seja conhecida, mas estou tendo problemas para encontrar uma resposta. Se já é conhecido, gostaria de receber uma referência.

[1] Ibarra, OH (1979). Máquinas de balcão restritas com problemas indecidíveis no universo. Teoria matemática dos sistemas, 13 (1), 181-186

Deve ser indecidível para um alfabeto com dois símbolos. É possível codificar qualquer alfabeto em duas letras, por exemplo, mapear 16 símbolos para o comprimento de 4 cadeias binárias . Então igualdade para é equivalente à igualdade para todos os códigos possíveis para cadeias. No exemplo de 16 letras, isso significa igualdade para todas as cadeias de caracteres de um múltiplo de quatro letras. Claramente, isso não é universalidade. Isso é obtido adicionando as cadeias binárias que não estão codificando. Esse é um conjunto regular e pode ser gerado por um autômato de um contador.$aaaa, aaab, \dots, bbbb$$\Sigma^*$

A mesma explicação, com para quem aprecia. Suponha que a universalidade é indecidível para . Seja um morfismo injetivo. Agora se . Por sua vez, isso é equivalente a onde é o idioma regular (fixo) . Portanto, não podemos decidir se a contra-linguagem binária é universal. Observe que a linguagem é um contador, pois a família é fechada sob morfismos e união (com idiomas comuns).$\LaTeX$$\Sigma$$h: \Sigma^* \to \{0,1\}^*$$L = \Sigma^*$$h(L) = h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R = \{0,1\}^*$$R$$\{0,1\}^* - h(\Sigma^*)$$h(L) \cup R$

Como você declara "eu acho que", também posso confirmar que a pergunta é decidível para um alfabeto de uma letra. É decidível para autômatos push-down (portanto, linguagens livres de contexto), pois uma letra CFL é (efetivamente) equivalente a idiomas regulares.