Seleção Aleatória

O algoritmo de seleção aleatória é o seguinte:

Entrada: Uma matriz de n (distintos, para simplificar) números e um número k ∈ [ n $A$$n$$k\in [n]$

Saída: O " elemento da classificação " de A (ou seja, aquele na posição k se A foi classificado)$k$$A$$k$$A$

Método:

• Se houver um elemento em , retorne-o$A$
• Selecione um elemento (o "pivô") uniformemente aleatoriamente$p$
• Calcule os conjuntos e R = { a ∈ A : a > p $L = \{a\in A : a < p\}$$R = \{a\in A : a > p\}$
• Se , regressar ao posto k elemento de L .$|L| \ge k$$k$$L$
• Caso contrário, retorne a classificação elemento de $k - |L|$$R$

Foi-me feita a seguinte pergunta:

Suponha-se que , de modo que procura a mediana, e deixá- ct ∈ ( 1 / 2 , 1 ) ser uma constante. Qual é a probabilidade de que, na primeira chamada recursiva, o conjunto que contém a mediana tenha tamanho no máximo α n ?$k=n/2$$\alpha\in (1/2,1)$$\alpha n$

Disseram-me que a resposta é , com a justificativa "O pivô selecionado deve ficar entre 1 - α e α vezes a matriz original"$2\alpha - 1$$1−\alpha$$\alpha$

Por quê? Como , qualquer elemento escolhido como pivô é maior ou menor que mais da metade dos elementos originais. A mediana sempre fica no sub-arranjo maior, porque os elementos no sub-arranjo particionado são sempre menores que o pivô.$\alpha \in (0.5, 1)$

Se o pivô estiver na primeira metade da matriz original (menos da metade deles), a mediana certamente estará na segunda metade maior, porque, uma vez encontrada a mediana, ela deve estar na posição intermediária da matriz e tudo antes do pivô é menor, como mencionado acima.

Se o pivô estiver na segunda metade da matriz original (mais da metade dos elementos), a mediana certamente segurará a primeira metade maior, pelo mesmo motivo, tudo antes do pivô ser considerado menor.

Exemplo:

3 4 5 8 7 9 2 1 6 10

A mediana é 5.

Suponhamos que o pivô escolhido seja 2. Portanto, após a primeira iteração, ele se torna:

1 2 .... parte maior ....

Somente 1e 2são trocados após a primeira iteração. O número 5 (a mediana) ainda está na primeira metade maior (chegando ao pivô 2). O ponto é que a mediana está sempre na metade superior, como pode ter a chance de permanecer em um sub-arranjo menor?

Suponha que sua matriz tenha elementos. Como você observou, a mediana está sempre na parte maior após a primeira partição. A parte maior tem tamanho no máximo α n se a parte menor tiver tamanho pelo menos ( 1 - α ) n . Isso acontece quando você escolhe um pivô que não é um dos menores ou maiores ( 1 - α ) n elementos. Porque α > 1 / 2 , você sabe estes são conjuntos disjuntos, então a probabilidade de acertar um dos maus pivôs é apenas 2 - 2 α e 1 $n$$\alpha n$$(1-\alpha) n$$(1-\alpha) n$$\alpha > 1/2$$2 - 2\alpha$ .$1- 2 + 2\alpha=2\alpha - 1$