Teoria das categorias (não) para programação?

Depois de aprender Haskell e outras linguagens FP não puras, decidi ler sobre a teoria das categorias. Depois de obter um bom entendimento da teoria das categorias, comecei a pensar em como os conceitos da teoria das categorias podem ser usados para pensar em criar programas, mas não importa o quanto tentei, parece que esse não é o caminho a seguir.

Depois de passar muitas tentativas frustradas de relacionar a teoria das categorias ao projeto de programas , cheguei à conclusão de que:

A teoria das categorias é útil ao projetar uma linguagem de programação .
A teoria das categorias não é algo que você usa ao criar programas (mesmo quando usa uma linguagem que foi projetada com base nos princípios das categorias). Por exemplo: Ao programar em Haskell, você utilizará tipos, tipos de construtor, funções, funções de ordem superior etc. para projetar seu programa, não conceitos de teoria de categorias.

Em resumo, temos o sistema de camada abaixo (a ordem é baixa para alta):

Teoria da categoria -> Linguagem de programação -> Programa

Em uma camada específica, você usa os conceitos da camada subjacente imediata .

Este entendimento está correto? Caso contrário, e você acredita que, ao projetar programas , podemos usar diretamente os conceitos da teoria das categorias, consulte alguns artigos ou postagens de blog onde está sendo demonstrado.

NOTA: Ao projetar programas, quero dizer projetar programas com base em diferentes conceitos, como simultaneidade, paralelismo, reativo, passagem de mensagens etc.

functional-programming category-theory

— Ankur
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Você considera as mônadas como parte da linguagem ou programas de programação? Setas; flechas?

— Dave Clarke

Isso me parece uma questão filosófica, pelo menos em parte. Não sei se há uma única resposta correta. Um adepto da teoria das categorias aplicará a intuição adquirida durante a programação, outro favorecerá diferentes modos de pensar.

— Raphael

A maioria dos programas sendo escritos usa linguagens de programação não inspiradas na teoria das categorias. Até onde eu sei, o programador médio não está ciente da teoria das categorias e, portanto, a maioria dos programas (incluindo o sistema operacional e o navegador) não é inspirada em matemática superior.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus: A minha pergunta é voltado para linguagens de programação funcional

— Ankur

Veja também esta pergunta para algumas aplicações CS de monoids

— vzn

Respostas:

Bem, isso depende do tipo de programa que você está tentando criar.

Se você está criando um programa de contabilidade para a loja de chocolates de sua tia, duvido muito que a teoria das categorias seja de grande utilidade.

Mas há, é claro, situações em que a teoria das categorias é extremamente útil no design de programas (com o que também quero dizer estruturas de dados, bibliotecas e assim por diante). Tais situações ocorrem principalmente quando os programas envolvidos são de natureza matemática.

Se você deseja escrever programas que computam números reais exatos e outras estruturas que ocorrem na análise matemática, a primeira pergunta a ser respondida é o que significa implementar corretamente um objeto matemático complicado (como uma função diferenciável, uma variedade, etc.) ) Aqui, ajuda muito conhecer algumas teorias e lógica de categorias, porque elas oferecem uma maneira sistemática de traduzir definições de estruturas matemáticas para especificações e implementações das estruturas de dados correspondentes. A palavra da moda que você deve procurar é a teoria da realização . Mas este é apenas um exemplo.

A melhor maneira de ver como a teoria das categorias é útil é olhar para programas escritos por pessoas que conhecem muita teoria das categorias (e matemática em geral). Um exemplo óbvio disso é Martín Escardó e seus funcionais impossíveis, por exemplo:

M. Escardó e P. Oliva: que jogos seqüenciais, o teorema de Tychonoff e a mudança de dupla negação têm em comum a programação funcional 2010, matematicamente estruturada, ACM Press. (com arquivos Haskell e Agda complementares )

Você pode reclamar que isso não é apenas teoria de categorias, mas também lógica e topologia. Tais queixas seriam severamente equivocadas. A melhor teoria das categorias é sempre misturada com outras coisas.

Por fim, eu desaconselharia a tirar grandes conclusões sobre a natureza das coisas com base em um pouco de leitura auto-atribuída.

— Andrej Bauer
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Esse é exatamente o meu ponto. Se estou projetando um software de contabilidade, o sistema de tipos será minha linguagem para o design. Se eu estiver projetando um software matemático, usarei o sistema de tipos para representar os conceitos da teoria das categorias. O que basicamente indica que a teoria dos tipos OU sistemas de tipos são abstrações mais gerais do que a teoria das categorias.

— Ankur

Essa é uma afirmação ridícula. Acho que você talvez deva aprender um pouco mais antes de fazer declarações abrangentes como essa. Talvez você pode começar com existentialtype.wordpress.com/2011/03/27/the-holy-trinity

— Andrej Bauer

Eu não sou pesquisador, doutorado, cientista, matemático ou teórico de categorias; portanto, não fique chateado com minhas afirmações, elas não serão publicadas em periódicos científicos ou papéis de pesquisa. Eu sou apenas um programador que está tentando entender o outro lado da moeda. A propósito, obrigado pelo link.

— Ankur #

Percebo isso, e é exatamente por isso que estou sugerindo que você seja cuidadoso ao tirar conclusões como você: você simplesmente não possui as informações necessárias para tirar essas conclusões. E é também por isso que te refiro a um post de Bob Harpher em vez de, digamos, a um livro técnico sobre a relação entre teoria de tipos e teoria de categorias. Estou tentando ajudar, mas esperaria, em troca, um pouco mais de sua reserva quando se trata de tirar grandes conclusões sobre a natureza de todo um ramo da matemática.

— 22313 Andrej Bauer

Por exemplo, você declarou que "a teoria dos tipos é uma abstração mais geral que a teoria das categorias". Este é um exemplo de declaração que você deve saber para não fazer com base em pouco conhecimento. Eu trabalho profissionalmente nessa área e até eu seria muito cuidadoso em fazer essa conclusão, ou a oposta.

— 22313 Andrej Bauer

As pessoas costumavam usar a TC para descrever os tipos de dados.

O tipo de dados foi definido por uma categoria específica cujos objetos são seqüências finitas de tipos (linguagem de especificação) e cujas setas eram projeções ou composições das operações do tipo de dados. Por exemplo, o objeto é o domínio e é o codomain da operação de envio de pilhas. Isso fornece sintaxe, mas você ainda não tem noção de semântica.
Uma álgebra, ou seja, uma instância do tipo, é um functor da teoria ao Ens, a categoria de conjuntos (pequenos). (Usamos "pequeno" para evitar o paradoxo de Russell, mas isso não importa muito.)
Acontece que as propriedades de fechamento das categorias correspondem a famílias de teorias lógicas. Por exemplo, se a categoria de teoria for fechada em produtos, o tipo de dados poderá ser axiomatizado por equações. Se a categoria da teoria for fechada com retrocessos, o tipo de dados poderá ser axiomatizado pelas sentenças de Horn.

Não tenho certeza se alguém presta mais atenção nisso. Eu pensaria que isso , e os links lá, explicariam mais detalhadamente.

— Vilcxjo
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