Algoritmo para perseguir um alvo em movimento

Suponha que tenhamos uma caixa preta $f$ que possamos consultar e redefinir. Quando redefinimos $f$ , o estado de é definido como um elemento escolhido uniformemente aleatoriamente no conjunto que é fixo e conhecido pelo dado . Para consulta , um elemento (a suposição) de é fornecido e o valor retornado é . Além disso, o estado de $f_S$ $f$

{0 0, 1, . . ., n - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$

n

$n$

f

$f$

f

$f$

x

$x$

{0 0, 1, . . ., n - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$

(f_{S} - x) \mod n

$(f_S - x) \mod n$

f_{S}

$f_S$

f

$f$ é definido como um valor , em que é selecionado uniformemente aleatoriamente entre

f_{S}^{'} = f_{S} \pm k

$f_S' = f_S \pm k$

k

$k$

{0, 1, 2, . . ., ⌊ n / 2 ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n)}

$\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

Fazendo suposições uniformemente aleatórias com cada consulta, seria de esperar que antes de obter , com variação (declarada sem prova). $n$ $f_S = x$ $n^2 - n$

Um algoritmo pode ser projetado para fazer melhor (ou seja, fazer menos suposições, possivelmente com menos variação no número de suposições)? Quanto melhor ele poderia fazer (ou seja, qual é o algoritmo ideal e qual é o seu desempenho)?

Uma solução eficiente para esse problema pode ter implicações importantes na redução de custos para fotografar um coelho (confinado a pular em uma pista circular) em um quarto escuro.

algorithms probability-theory randomized-algorithms

— Patrick87
fonte

Não sei se atirar coelhos é ciência da computação.

— Dave Clarke

@DaveClarke Mas se você pode atirar em coelhos, você resolveu o problema da parada de coelhos.

— precisa saber é o seguinte

@DaveClarke Nem está atirando satélites no espaço, mas o cálculo da posição do satélite é. Esta questão não é totalmente diferente da criptoanálise.

— Gilles 'SO- stop be evil'

Antes de tudo, vou assumir que, ao

Além disso, o estado de é definido como um valor $f_S$ $f$ $f_S' = f_S \pm k$ , onde é seleccionada de modo uniforme de forma aleatória a partir de $k$
${0, 1, 2, . . ., ⌊ n / 2 ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n)}$ $\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

você realmente quer dizer

Além disso, o estado de é definido como um valor $f_S$ $f$ , onde é selecionado uniformemente aleatoriamente de $f_S' = f_S + k \mod n$ $k$
${- | ⌊ \frac{n}{2} ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n) |, \dots, - 1, 0, 1, 2, \dots, | ⌊ \frac{n}{2} ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n) |}$ $\left\{- \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|, \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|\right\}$

Caso contrário, não está totalmente claro que $f_S \in \{ 0, ..., n-1\}$ $f_S \pm k$

$f_S - x = \pm 1 \mod n$ $-(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $f_S - x \mod n = \lfloor n/2 \rfloor$

Nos resta encontrar um procedimento para perder cada vez mais a cada tiro. Eu proponho uma simples "pesquisa binária". (Eu omitirei convenientemente o arredondamento.) Ele ocorre aproximadamente da seguinte maneira:

$(f_S - x \mod n) \in \{ \frac{1}{4}n, ..., \frac{3}{4}n\}.$
$f_S$ $\frac{1}{4}n$ $f_S' \in \{ (f_S - \frac{1}{4}n) \mod n, ..., f_S, ..., (f_S + \frac{1}{4}n) \mod n \}$
$f_S - n/2 \mod n$ $1/2$ $f_S'$ $\{ f_S - \frac{1}{8}n, ..., f_S, ..., f_S + \frac{1}{8}n \}$ $1/2$ $f_S' - x \mod n = f_S' - f_S + n/2 \mod n \in \{ \frac{1}{2}n - \frac{1}{4}n, ..., \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}n \}$

$2 = \mathcal{O}(1)$ $\mathcal{O}(\log n)$

— HdM
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