Teoremas de pontes para teoria de grupos e linguagens formais

Existe alguma maneira natural ou notável de relacionar ou vincular grupos de matemática e linguagens formais de CS ou algum outro conceito central de CS, por exemplo, máquinas de Turing?

Estou à procura de referências / aplicações. No entanto, note que estou ciente do vínculo entre semigrupos e idiomas CS (ou seja, através de autômatos finitos ). (Essa literatura sobre semiautomatos sempre examina "autômatos de grupo"?)

Eu vi um artigo há muitos anos que pode se aproximar, que converte as tabelas de transição da TM em uma operação binária, possivelmente às vezes um grupo em alguns casos, concebivelmente baseado em algum tipo de simetria na tabela de estados da TM. Não explorou isso em particular, mas também não descartou.

Além disso, em particular, no que diz respeito ao grande corpo de pesquisas em matemática sobre classificação de grupos finitos , existe ou poderia ter algum significado ou interpretação no TCS? Qual é a visão das "lentes algorítmicas" desse enorme edifício da pesquisa matemática? O que é "dizer" sobre uma possível estrutura oculta em computação?

Esta pergunta é parcialmente inspirada por outras notas, por exemplo:

• Uso de estruturas algébricas no TCS

• RJ Lipton no teorema de Gromov

$p$ . Resultados semelhantes são conhecidos para grupos nilpotentes finitos, grupos solúveis e grupos supersolúveis.

Grupos finitos também desempenham um papel importante no problema de encontrar um conjunto completo de identidades para expressões regulares. Um conjunto completo infinito foi proposto por John Conway e essa conjectura foi finalmente provada por D. Krob. Há um número finito de identidades "básicas", além de uma identidade para cada grupo simples finito . Veja minha resposta a esta pergunta para referências.

Na direção oposta, a teoria dos autômatos finitos leva a uma prova elementar dos resultados básicos da teoria dos grupos combinatórios, como a fórmula de Schreier. Baseado no artigo seminal de Stallings, Topology of Finite Graphs .

Também na direção oposta, grupos automáticos são definidos em termos de autômatos finitos.

Grupos profinitos também desempenham um papel importante na teoria dos autômatos. Um exemplo é a caracterização das linguagens regulares reconhecidas por autômatos reversíveis à transição com possivelmente vários estados iniciais e finais.

Para uma conexão muito agradável entre linguagens sem contexto, grupos e lógica, consulte o artigo de David E. Muller e Paul E. Schupp, Linguagens sem contexto, grupos, teoria dos fins, lógica de segunda ordem, problemas de ladrilhos, celular autômatos e sistemas de adição de vetores .

$^1$$S_5$$A_5$

Quanto à classificação dos grupos finitos simples, tanto quanto me lembro, é implicitamente usado em alguns algoritmos para isomorfismo de grupo, um problema relacionado ao isomorfismo de gráfico.

Uma área de estudo famosa na teoria das apresentações em grupo é o problema da palavra para grupos . Uma apresentação em grupo é feita por vários geradores$g_1, ..., g_m$ e um monte de equações $a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$que o grupo gerado precisa satisfazer. Agora com duas palavras$x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$, ou seja, duas cordas sobre o alfabeto $\{g_1, ..., g_m\}$, faz sentido perguntar se $x = y$mantém no grupo gerado. Este é o problema da palavra . Podemos decidir a palavra problema mecanicamente? Esse era um problema aberto de longa data, resolvido negativamente em 1955: existe um grupo G finitamente gerado (de fato, apresentado finitamente), de tal modo que a palavra problema para G é indecidível. No entanto, para muitas classes de grupos, o problema da palavra é decidível, por exemplo, grupos finitos e grupos de tranças .

Existem muitos resultados profundos que fornecem condições para classes de grupos com problemas de palavras solucionáveis. Também é interessante estudar a complexidade de decidir problemas de palavras (para classes de grupos que têm um problema de palavras decidível), veja, por exemplo, aqui .

No Google, encontrei o artigo Monoides profinitos relativamente gratuitos: uma introdução e exemplos, em Semigrupos, Línguas Formais e Grupos, por Jorge Almeida (tradução em inglês no Journal of Mathematics Sciences , 144 (2): 3881–3903, 2007) em este assunto.