Complexidade de verificar se as equações lineares têm uma solução positiva

Considere um sistema de equações lineares $Ax=0$ , Onde $A$ é um $n\times n$ matriz com entradas racionais. Suponha que a classificação de $A$ é $<n$ . Qual é a complexidade de verificar se ele tem uma solução $x$ de modo que todas as entradas de $x$ são estritamente maiores que 0 (ou seja, $x$ é um vetor positivo)? Obviamente, pode-se usar a eliminação de Gauss, mas isso parece não ser o ideal.

algorithms complexity-theory linear-algebra

— user29271
fonte

Simultaneamente cruzado em CSTheory . Por favor, não faça isso, pois sua pergunta parece mais importante que outras.

— Juho

O "claro" é óbvio? Eu não conheço as várias formas padrão de LP em cima da minha cabeça, mas essa é uma configuração bastante geral.

— Louis

O artigo "Sobre soluções positivas de um sistema de equações lineares" de Lloyd Dines parece abordar isso. Se você não tiver acesso através do JSTOR, vou ler e resumir o artigo em uma resposta.

— precisa saber é o seguinte

@ user29271 Informe-nos se este documento responde à sua pergunta. Nesse caso, você pode postar uma resposta com uma breve descrição da técnica ... Tenho certeza de que você receberá reputação por fornecer um resultado tão útil para a comunidade.

— precisa saber é o seguinte

É bastante simples pegar um programa linear arbitrário para uma questão de viabilidade (existe um ponto no interior de um polítopo dado por desigualdades lineares) e manipulá-lo para que ele fique na forma desejada. Como a viabilidade da programação linear é tão difícil quanto a programação linear arbitrária, seu problema é tão difícil quanto um programa linear arbitrário. E de fato pode ser resolvido por programação linear. Não tenho tempo agora, mas se mais ninguém explicar isso e você ainda não encontrou uma resposta satisfatória até o meio da próxima semana, posso tentar explicar os detalhes.

— Peter Shor

Primeiro, isso pode ser resolvido por programação linear. Deixei $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ sejam suas variáveis. O programa linear que resolve sua pergunta é então

$\max t$
sujeito a
$t \leq x_i$ , para $i=1 ... n$ ,
$Ax = 0$ .

Se o máximo for 0, não haverá solução positiva. Se o máximo é $\infty$ (ou seja, o programa linear é ilimitado ), existe uma solução positiva.

Segundo, usando transformações padrão em programas lineares, o problema de viabilidade de um programa linear arbitrário com desigualdades estritas pode ser reduzido ao seu problema. Começamos com o problema de viabilidade

Existe $x$ de tal modo que
$A x < b$ ?

Agora podemos adicionar uma nova variável $x_{n+1}$ no lado direito de todas essas equações e uma desigualdade $x_{n+1} > 0$ para tornar tudo homogêneo. Então, para o $k$ ^th equação, agora temos

$a_{k,1} x_1 + \ldots + a_{k,n} x_n - b_k x_{n+1} < 0$ .

Isso gera um problema equivalente em uma nova matriz $A'$ :

Existe $x$ de tal modo que
$A'x < 0$ ?

Em seguida, podemos transformar as desigualdades em equações adicionando algumas variáveis $y_i$ e exigindo que $y_i > 0$ . o $k$ A equação do novo problema se transforma em

$a'_{k,1} x_1 + \ldots + a'_{k,n} x_n + a'_{k,n+1} x_{n+1} +y_k = 0$ .

Finalmente, queremos permitir que todas as variáveis sejam positivas. Como fazemos isso? Para cada variável $x_i$ com um sinal arbitrário, substituímos $x_i$ de $z_i - w_i$ e exigem $z_i>0$ , $w_i > 0$ .

O problema de viabilidade é essencialmente tão difícil quanto um problema de programação linear arbitrário; portanto, em geral, não haverá maneira mais fácil de resolver seu problema do que usar a programação linear.

— Peter Shor
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