Por que usar

Sabe-se que as lógicas temporais LTL, CTL, CTL * podem ser traduzidas / incorporadas no $\mu$-cálculo. Em outras palavras, o (modal)$\mu$-calculus inclui essas lógicas (ou seja, é mais expressivo).

Você poderia, por favor, me explicar / apontar para papéis / livros que elaboram esse assunto? Em particular, existem propriedades concretas de justiça, vivacidade, etc. não expressáveis ​​na lógica temporal, mas na$\mu$-cálculo?

Quanto a um $\mu$fórmula -calculus não expressável em CTL *, consulte este post .

Quanto aos textos sobre o assunto, é provável que você avance na leitura de artigos, pois esses tópicos não são abordados em muitos livros. Ainda assim, o Handbook of Modal Logic pode ser um bom começo.

Quanto aos papéis, tente:

Poder expressivo da lógica temporal

Esta tese de doutorado

A verificação do modelo de Emerson e o cálculo de Mu

E há muito mais. Apenas termos do Google como "poder expressivo", "mu calculus" e "lógica lógica".

o $\mu$-cálculo é estritamente mais expressivo que LTL, CTL e CTL *. Isso é consequência de alguns resultados diferentes.

O primeiro passo é mostrar que o $\mu$-calculus é tão expressivo quanto a lógica temporal. A idéia principal para codificar essas lógicas vem do reconhecimento de propriedades temporais como pontos fixos. Em um nível muito informal, os pontos menos fixos permitem expressar propriedades de natureza finitária e os maiores pontos fixos se aplicam a propriedades infinitárias. Por exemplo, eventualmente$\varphi$ em LTL define que existe um instante no futuro finito em que $\varphi$é verdade, enquanto sempre$\varphi$ afirma que $\varphi$é verdade em um número infinito de etapas futuras. Em termos de pontos fixos, a propriedade eventualmente seria expressa usando um ponto menos fixo e a propriedade always usando o maior ponto fixo. Após essa intuição, os operadores temporais podem ser codificados como operadores de ponto fixo.

O próximo passo é mostrar que o $\mu$-calculus é mais expressivo. A idéia principal é a profundidade da alternância. Os pontos fixos alternam se um ponto menos fixo influencia o maior ponto fixo e vice-versa. A profundidade de alternância de um$\mu$A fórmula -calculus conta o número de alternâncias que ocorrem nela. Os operadores em CTL podem ser codificados por$\mu$de cálcio com profundidade de alternância $1$. Os operadores em CTL * e LTL podem ser codificados por$\mu$fórmulas de cálcio com profundidade de alternância no máximo $2$. No entanto, a hierarquia de alternância do$\mu$-calculus é estrito, o que significa que aumentar a profundidade da alternância em uma fórmula permite expressar estritamente mais propriedades. É por isso que as pessoas dizem o$\mu$O cálculo é mais expressivo do que essas lógicas temporais.

Algumas referências:

1. Os argumentos iniciais de que o $\mu$-calculus inclui várias lógicas que aparecem em Modalities for Model Checking: Ramification Time Logic Strikes Back , Emerson e Lei, 1985.
2. A tradução de CTL para o $\mu$-calculus é direto. Você pode encontrá-lo no livro Model Checking, de Clarke, Grumberg e Peled. Você também pode encontrá-lo na Verificação de modelo e no$mu$-cálculo de Emerson ou na dissertação de Ken McMillan.
3. A tradução de CTL * para o $\mu$-calculus está envolvido. Em vez da tradução indireta original, sugiro o artigo de Mads Dam sobre a tradução de CTL * no mu-calculus modal .
4. Existe uma tradução mais simples de LTL para o que é chamado de tempo linear $\mu$-cálculo, em que as modalidades operam sobre traços e não estados. Veja Axiomatising Linear Time Mu-calculus de Roope Kaivola.
5. A hierarquia de alternância é estudada em A hierarquia de alternância modal mu-calculus é estrita por Julian Bradfield e em Um teorema da hierarquia para o$\mu$-cálculo de Giacomo Lenzi.

Tudo isso é sobre expressividade, não sobre utilidade. Na prática, as pessoas geralmente não especificam propriedades como$\mu$expressões -calculus porque podem achar mais fácil trabalhar com lógicas temporais. As linguagens de especificação industrial diferem tanto da lógica temporal quanto da$\mu$-cálculo em sua sintaxe e seu poder expressivo.

É bem sabido que $\mu$-calculi pode expressar propriedades que "contam módulo constante", por exemplo, " todas as etapas iguais visitam um$A$-estado ", que é capturado por algo como$\mu X.A \land\Box\Box X$. Tais propriedades não podem ser declaradas com as modalidades TL padrão Até e Próximo, pois essas modalidades são definíveis de 1ª ordem. Veja o artigo de DC Kozen de 1983 .