Por que as abstrações lambda são os únicos termos que são valores no cálculo lambda sem tipo?

Estou confuso com a seguinte afirmação: "Os únicos valores no cálculo lambda sem tipo são abstrações lambda".

Por que os outros termos não são valores? O que significa uma abstração lambda ser um valor? A primeira coisa que me veio à mente foi que talvez as abstrações lambda sejam as únicas formas normais possíveis, mas isso não é verdade, é claro, por exemplo . $(\lambda x.\; x)\;y \to y$

Alguém pode me esclarecer?

logic lambda-calculus

— codd
fonte

Onde você viu isso? A definição de valor pode variar.

— Jmad

(λ x . x) y

$(\lambda x. x)\ y$ não é uma abstração lambda, é uma aplicação, ou seja, a aplicação de

(λ x . x)

$(\lambda x. x)$ para

y

$y$ .

— Dave Clarke

@DaveClarke: Eu acho que Jeroen quis dizer que

y

$y$ era uma forma normal (para provar que um valor é uma abstração) e não que era uma abstração (para provar que uma abstração é um valor).

(λ x . x) y

$(λx.x)y$

— Jd4

Variáveis são sempre valores, em todos os cálculos.

— Fabio F.

@ DaveClarke: Acabei de verificar o livro de Pierce. A confusão surgiu porque a semântica operacional do cálculo lambda é abordada pela primeira vez informalmente. Diz-se em uma nota de rodapé que os únicos valores do cálculo são abstrações lambda. Mais tarde, quando a semântica é formalmente definida, fica claro que apenas termos fechados estão sendo considerados.

— codd

Há várias coisas acontecendo aqui:

O idioma que você está falando não possui tipos de dados adicionais, caso contrário, haveria outros tipos de valores.
A estratégia de redução do idioma não reduz dentro de abstrações lambda. Chamada por valor e chamada por nome estão em conformidade com isso. Caso contrário, nem toda abstração lambda seria normal.
Geralmente, considera-se expressões fechadas como programas; portanto, não há variáveis livres; portanto, o exemplo que você apresenta não é considerado.

Outros termos não são valores porque podem ser reduzidos ou não aparecem em programas fechados.

O fato de uma abstração lambda ser um valor significa que não pode mais ser reduzido (dependendo da estratégia de redução).

Para termos abertos, variáveis também são valores.

— Dave Clarke
fonte

Isso faz sentido. O principal é que apenas termos fechados devem ser levados em consideração. Vou verificar com a fonte original para ver se isso faz parte da definição formal da semântica operacional.

— codd