Prova curta e precisa do forte teorema da dualidade para programação linear

Considere os programas lineares

\begin{array}{ccc} P r i m a l : & A \vec{x} \leq \vec{b} & max {\vec{c}}^{T} \vec{x} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D u a l : & \vec{c} \leq {\vec{y}}^{T} A & min {\vec{y}}^{T} \vec{b} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

O teorema da dualidade fraca afirma que se $\vec{x}$ e $\vec{y}$ satisfazem as restrições, então $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ . Ele possui uma prova curta e lisa usando álgebra linear: $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ .

O forte teorema da dualidade afirma que se o $\vec{x}$ é uma solução ideal para o primal, então existe $\vec{y}$ que é uma solução para o dual e $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$ .

Existe uma prova semelhante e curta para o forte teorema da dualidade?

— Kaveh
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O capítulo 4 do curso on-line do MIT web.mit.edu/15.053/www de Bradley, Hax e Magnanti fornece uma prova razoavelmente curta nesse sentido. É isso que você está procurando?

— Cody

@ Cody, bem, parece essencialmente o mesmo que o do CLRS. Pode ser bom se você puder expressá-lo de uma maneira lisa e álgebra linear (ou seja, sem somas).

— Kaveh

Parece que o que eu queria provavelmente não é possível. O Farkas usa o fechamento do espaço, o que significa que provavelmente não há prova pura de álgebra linear.

— Kaveh

Tentando encontrar algo não muito pesado para mostrar aos meus alunos (para que eles não precisem apenas ter uma forte dualidade de fé), e a maior parte do que eu me deparei é mais na categoria muito complicada. Acabei de encontrar um argumento nas notas de uma classe de Dan Spielman, que é bastante curta e aparentemente simples. Não tem certeza se está escondendo alguma complexidade ou se falta alguma coisa? (Ainda não examinou exaustivamente o suficiente para dizer, ainda.) Cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Magnus Lie Hetland

Ah, acho que um ponto central é a interpretação geométrica da palestra anterior, que nos leva de volta à família de provas Simplex: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— Magnus Lie Hetland

Provavelmente não. Aqui está um argumento conceitual baseado em

Lema de Farkas : Exatamente uma das seguintes alternativas tem uma solução:

$Ax \le b$ e $x \ge 0$

$y^TA\ge 0$ e $y^Tb < 0$

Agora seja o valor objetivo ideal do primal. Seja arbitrário. Seja com adicional como a última linha. Vamos para ser com um adicional como o último valor. $\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

O sistema não tem solução. Por Farkas, existe um tal que: $A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ e . $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

Note que se , estamos na outra alternativa de Farkas. Portanto, . $\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

Escale para que . é dual viável. A dualidade fraca implica . $y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— Louis
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Acho que essa é a prova nas anotações da aula de Jeff Erickson . Estou procurando algo que evite o material epsilon (como álgebra linear pura).

— Kaveh #

O que JeffE tem é um pouco diferente e explica mais a geometria. De qualquer forma, você não encontrará o que deseja, no sentido de que a região viável é um poliedro, não um espaço linear; portanto, algo eventualmente precisará fazer uso disso. (Aqui, é esconderijo no Farkas Gärtner e livro de Matousek é realmente uma boa referência para essas coisas eu tenho certeza que esta prova está lá...)

— Louis