Como provar que uma linguagem é livre de contexto?

Existem muitas técnicas para provar que uma linguagem não é livre de contexto, mas como posso provar que uma linguagem é livre de contexto?

Que técnicas existem para provar isso? Obviamente, uma maneira é exibir uma gramática sem contexto para o idioma. Existem técnicas sistemáticas para encontrar uma gramática livre de contexto para um determinado idioma?

Para linguagens regulares, não são formas sistemáticas para derivar um autômato regulares gramática / finito de estado: por exemplo, o Myhill-Nerode teorema fornece uma maneira. Existe alguma técnica correspondente para linguagens sem contexto?

Minha motivação aqui é (espero) criar uma pergunta de referência que contenha uma lista de técnicas que geralmente são úteis, ao tentar provar que uma determinada linguagem é livre de contexto. Como temos muitas perguntas aqui que são casos especiais disso, seria bom se pudéssemos documentar a abordagem geral ou as técnicas gerais que se pode usar ao enfrentar esse tipo de problema.

Uma abordagem prática que, em muitos exemplos, funciona [mas nem sempre, eu sei] está tentando encontrar a estrutura de aninhamento das strings na linguagem. "Dependências aninhadas" devem ser geradas ao mesmo tempo em diferentes partes da cadeia.

Também temos a caixa de ferramentas básica :

1. concatenação: se você puder dividir o idioma em duas partes consecutivas, use esta produção$S\to S_1S_2$

2. união: dividida em partes separadas$S\to S_1 \mid S_2$

3. iteração:$S\to S_1S \mid \varepsilon$

Exemplo 1

Aqui está um exemplo para o aninhamento (obrigado Raphael).

$L=\{b^ka^l(bc)^ma^nb^o \mid k,l,m,n,o\in {\Bbb N},k\neq o,2l=n,m\ge 2 \}$

Substitua por . Agora podemos reduzir em condições.2 l $n$$2l$$n$

Substitua por (confuso? é 'oh' e não 'zero'). Aplique ferramentas para união. Trabalhamos com aqui. Também sse e , onde é um novo variável. Substitua por .k > o  ou  k < o o k > o k > o k = s + o s > 0 s k s + $k \neq o$$k > o \text{ or } k < o$$o$$k > o$$k>o$$k=s+o$$s>0$$s$$k$$s+o$

$L_1 =\{b^{s+o}a^l(bc)^ma^{2l}b^o \mid l,m,o,s\in {\Bbb N},s>0,m\ge 2 \}$

Algumas reescritas simples.

$L_1 =\{bb^sb^o a^l bcbc(bc)^m (aa)^{l}b^o \mid l,m,o,s\in {\Bbb N} \}$

Agora vemos a estrutura de aninhamento e começamos a construir uma gramática.

T → b U U → b U ∣ $S_1 \to TV$ , , (consulte: concatenação e iteração aqui)$T\to bU$$U\to bU \mid \varepsilon$

O $V \to bVb \mid W$ (geramos 'em ambos os lados)$o$ $b$

$W \to aWaa\mid X$

Y → b c b c Z → b c Z ∣ $X\to YZ$ , ,$Y\to bcbc$$Z\to bcZ\mid \varepsilon$

Exemplo 2

$K =\{ a^kb^lc^m \mid l=m+k\}$

Uma primeira reescrita "óbvia".

$K =\{ a^kb^{m+k}c^m \mid m,k\ge 0\} = \{ a^kb^mb^kc^m \mid m,k\ge 0\}$

No lingüístico, isso é chamado de "dependência entre séries": a intercalação (geralmente) indica fortemente a ausência de contexto sem contexto. Claro que me somos salvos.m + k = k + $k,m,k,m$$m+k=k+m$

$K =\{ a^kb^{k+m}c^m \mid m,k\ge 0\} = \{ a^kb^kb^mc^m \mid m,k\ge 0\}$

com produções , ,X → a X b ∣ ε Y → b Y c ∣ $S\to XY$$X\to aXb\mid \varepsilon$$Y\to bYc\mid \varepsilon$

Da mesma forma$K'= \{ a^kb^lc^m \mid m=k+l\} = \{ a^kb^lc^lc^k \mid k,l\ge 0\}$

com produções ,X → b X c ∣ $S\to aSc \mid X$$X\to bXc\mid \varepsilon$

Comentário final: essas técnicas ajudam a criar uma gramática livre de contexto do candidato que, esperamos, reconheça seu idioma. Uma prova de correção ainda pode ser necessária, para garantir que a gramática realmente funcione para reconhecer seu idioma (nada mais e nada menos).

Existe uma caracterização da CFL que pode ser útil, o teorema de Chomsky-Schützenberger .

Linguagem dyck

Deixe um alfabeto. Nós definimos o Dyck -language de pelo contexto-livre gramática com dado por$T$$D_T \subseteq (T \cup \hat{T})^*$$T$$G = (\{S\}, T \cup \hat{T}, \delta, S)$$\delta$

$\qquad\displaystyle S \to aS\hat{a}S \mid \varepsilon, \quad a \in T$ .

Teorema de Chomsky-Schützenberger

$L \subseteq \Sigma^*$ é livre de contexto se e somente se houver

• um alfabeto ,$T$
• um idioma regular e$R \subseteq (T \cup \hat{T})^*$
• homomorfismo$\psi : (T \cup \hat{T}) \to \Sigma^*$

de modo a

$\qquad \displaystyle L = \psi(D_T \cap R)$ .

Observe que o homomorfismo é estendido para palavras (símbolo por símbolo) e depois para idiomas (palavra por palavra).

Exemplo

Considere . Com$L = \{ a^n b^n c^m \mid n,m \in \mathbb{N}$

• $T = \{ [, \langle\}$ (e, canonicamente, ),$\hat{T} = \{ ], \rangle\}$
• $R = \mathcal{L}([^* ]^*\langle^* \rangle^*)$ e
• $\psi(x) = \begin{cases} a, &x = [ \\ b, &x =\ ] \\ \varepsilon, &x = \langle \\ c, &x =\ \rangle \end{cases}$

o teorema implica que é livre de contexto, em particular porque$L$

$\qquad\displaystyle D_T \cap R = \{[^n ]^n \langle^m \rangle^m \mid n,m \in \mathbb{N}\}$

Exemplo 2

$L = \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \mathbb{N}, k \neq o, 2l = n, m \geq 2 \}$

$a$$bc$$b$$b$$k \neq o$

• $T = \{ [, \langle, \vdash, < \}$
• $R = \mathcal{L}(<^+>^+\vdash^* [^* \langle\langle^+ \rangle^+\rangle ]^* \dashv^*) \cup \mathcal{L}(\vdash^* [^* \langle\langle^+ \rangle^+\rangle ]^* \dashv^*<^+>^+)$
• $\psi(x) = \begin{cases} b, &x \in \{\vdash, \dashv, <\} \\ a, &x = [ \\ aa, &x =\ ] \\ bc, &x = \langle \\ \varepsilon, &\text{else} \end{cases}$

$L = \psi(D_T \cap R)$$[$$]$$w \in D_T$$R$

$\qquad \begin{align*} D_T \cap R = &\{<^p>^p \vdash^o [^l \langle^m \rangle^m ]^l \dashv^o \mid p \geq 1, o \geq 0, l \geq 0, m \geq 2\} \\ &\cup\ \{\dots\} \end{align*}$

e com isso

$\qquad\begin{align*} \psi(D_T \cap R) &= \{ b^{p+o} a^l (bc)^m a^{2l} b^o \mid p \geq 1, o \geq 0, l \geq 0, m \geq 2 \} \\ &\quad \cup\ \{ \dots \} \\ &= \{ b^k a^l (bc)^m a^n b^o \mid k,l,m,n,o \in \mathbb{N}, k > o, 2l = n, m \geq 2 \} \\&\quad \cup\ \{ \dots \} \\ &= L \;. \end{align*}$

Para gramáticas e autômatos

Se queremos ter um autômato ou gramática no final, temos mais trabalho pela frente.

• $D_T$$R$$\psi$

• $R$$D_T$$\psi$

$T$$R$$\psi$