Se

Estou preso resolvendo o próximo exercício:

Argumente que se é livre de contexto e R é regular, então L / R = { w ∣ ∃ x ∈ $L$$R$ (ou seja, oquociente certo) é livre de contexto.$L / R = \{ w \mid \exists x \in R \;\text{s.t}\; wx \in L\}$

Eu sei que não deveria existir um PDA que aceita e um DFA que aceita R . Agora estou tentando combinar esses autômatos a um PDA que aceita o quociente certo. Se eu posso construir isso, eu provei que L / R é livre de contexto. Mas eu estou preso construindo este PDA.$L$$R$$L/R$

Isto é o quão longe eu cheguei:

No PDA combinado, os estados são um produto cartesiano dos estados dos autômatos separados. E as arestas são as arestas do DFA, mas apenas aquelas para as quais, no futuro, um estado final do PDA original de L poderá ser alcançado. Mas não sei como anotá-lo formalmente.

Aqui está uma dica.

Você precisa que sua máquina aceite inicialmente parte de uma palavra de , consumindo a fita conforme ela é usada . Então, sem consumir nada, você precisa encontrar alguma palavra de R que levará a máquina ao estado final. A palavra escolhida de R desempenha o papel da palavra de entrada para a segunda metade do cálculo.$L$$R$$R$

Claramente, o não determinismo terá um papel, assim como o produto entre as duas máquinas. O truque para formalizar isso é ajustar o produto para lidar com o fato de que a entrada vem de não da entrada.$R$

$L$$R$

$w \in \Sigma^*$$R$$x$

$A_L$$A_R$$L$$R$$A$$w \in \Sigma^*$$A_L$$w$$A_{L,R}$$A_L$$A_R$$A_L$$w$$A_{L,R}$$w$$x$$wx \in L$$x \in R$

$G_L$

$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$w \in L/R$

Eu recomendo usar a resposta de Raphael, que é muito mais fácil de entender, mas aqui está uma alternativa, usando propriedades de fechamento em vez de autômatos:

$L \subseteq A^{\ast}$$w$$L$$w x$$L$$x$$w$$w$$x$

Mais formalmente:

$L' \subseteq (A \times \{0,1\})^{\ast}$$L$
$(A \times {0})^{\ast} (R \times 1)$$R$$\times$
$(a,0) \to a$$(a,1) \to \varepsilon$