Quais foram os resultados da pesquisa do ano do Programa de Fundamentos Univalentes (Teoria do Tipo de Homotopia)

O Instituto de Estudos Avançados teve um programa especial de um ano dedicado ao Programa de Fundações Univalentes .

No final, eles produziram um livro e um repositório de código .

No final, vemos uma entrada de blog na Scientific American alegando:

... poderia fornecer uma base nova e independente para toda a matemática.

Agora, esta é uma afirmação ousada. Por outro lado, posso ver afirmações mais humildes, como uma simples prova na Agda, de que a soma de duas probabilidades é sempre igual .

Minha pergunta é: que novas pesquisas esses caras realmente produziram no final do ano? Todo o artigo indica é que eles escreveram algum código na Agda. É apenas que temos uma nova visão da teoria do tipo Martin-Löf com algumas aplicações?

Premissas

Entendo as idéias mais amplas da teoria dos tipos de Martin-Löf no que se refere ao isomorfismo entre tipos e provas.

homotopy-type-theory

— Hawkeye
fonte

Não vejo a conexão entre o Univalent Foundations Program e a prova simples do Agda.

— Dave Clarke

Minha pergunta foi descobrir o que 'suas provas Agda / Coq' somaram. Apresentei um exemplo simples de outra prova Agda bem escrita que não afirmava ser o fundamento da matemática.

— hawkeye

Maçãs gigantes vs laranjas pequenas.

— Dave Clarke

O próprio livro é representativo do produto de pesquisa do programa. O código que eles escreveram realmente está principalmente em Coq, que eu saiba, e certamente o desenvolvimento que acompanha o livro foi escrito em Coq.

A própria teoria dos tipos de homotopia constitui essencialmente Martin-Löf, juntamente com o axioma da univalência , que afirma essencialmente que tipos equivalentes são iguais. A noção de equivalência vem de uma visão que estabelece uma conexão entre uma teoria da homotopia sintética e a teoria do tipo Martin-Löf, daí o nome. Esse axioma dá lugar a uma poderosa teoria de tipos que o livro mostra é capaz de raciocinar sobre muita matemática fundamental existente.

De fato, a parte 2 do livro compreende desenvolvimentos de uma versão mais tradicional e motivada por topologia da teoria da homotopia, teoria dos conjuntos, teoria das categorias e uma boa apresentação construtiva dos números reais. Ainda não explorei muito o código Coq, mas entendo que todas essas apresentações são acompanhadas pela fonte Coq correspondente. Como podemos formular todos esses fundamentos importantes inteiramente dentro da teoria dos tipos de homotopia, faz sentido a hipótese de que possa ser uma base importante para a matemática no futuro. A idéia é que os matemáticos serão capazes de estender esses desenvolvimentos seminais para obter mais resultados em campos como álgebra, topologia e análise.

Como a teoria dos tipos de homotopia diz respeito à capacidade de fazer matemática em Coq por meio da correspondência de Curry-Howard, você pode pensar na teoria dos tipos de homotopia como correspondendo a uma instância mais poderosa de Curry-Howard. A contribuição mais empolgante deste trabalho é realmente que ele fornece linguagem aos matemáticos para falar sobre matemática em termos de teoria de tipos, e a idéia é que isso permita, por um lado, que mais matemática seja acompanhada de provas mecanizadas em provadores como Coq, como bem como provas de computador que correspondem mais de perto aos seus equivalentes simples em inglês. Qualquer pessoa que tenha usado o Coq lhe dirá que as provas que você produz frequentemente não se parecem muito com as provas equivalentes em inglês puro.

— Ethan A. Kuefner
fonte

Então você está basicamente dizendo que eles passaram algum tempo fazendo os blocos de construção - mas eles ainda não resultaram em nada de importante.

— hawkeye

Realmente depende do que você quer dizer com "consequência". Alguns teoremas realmente não triviais (como ) foram formalmente comprovados nessa estrutura, com a vantagem de que a expressão e a prova são relativamente simples com esta nova formulação. O blog tem muitas discussões sobre esses resultados. homotopytypetheory.org/blog

π_{1} (S^{1}) = Z

$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$

— cody

o que você quer dizer com "teoria da homotopia sintética"?

— jonaprieto

@jonaprieto A teoria da homotopia sintética significa que deduzimos teoremas sobre os tipos de espaços de homotopia, usando apenas propriedades invariantes a esses modelos e não modelos específicos, como complexos CW, espaços topológicos ou conjuntos simples. Isso é análogo a, por exemplo, geometria euclidiana sintética, que prova teoremas manipulando diretamente com curvas usando construções geométricas, em oposição à abordagem analítica, que escolhe uma das codificações não exclusivas dessas curvas como soluções para equações e manipula aquelas que representam equações.

— Anton Fetisov 14/02

Da mesma forma, na teoria da homotopia sintética, podemos falar sobre contratabilidade de certos espaços, sobre fibrações de caminho e homotopias, mas não podemos, por exemplo, falar sobre o conjunto de pontos de algum espaço, distinguir espaços equivalentes à homotopia, como para vários , ou use propriedades não invariantes homotópicas, como a definição de um círculo como um subconjunto em (uma vez que o plano e todos os seus subconjuntos são contratáveis).

R^{n}

$\mathbb R^n$

n

$n$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— Anton Fetisov