Comprovando a (in) tratabilidade desta enésima recorrência principal

Como se segue da minha pergunta anterior , tenho brincado com a hipótese de Riemann como uma questão de matemática recreativa. No processo, cheguei a uma recorrência bastante interessante e estou curioso quanto ao nome, suas reduções e sua tratabilidade em direção à resolubilidade da diferença entre os números primos.

Em termos gerais, podemos definir a diferença entre cada número primo como uma recorrência dos primos candidatos anteriores . Por exemplo, para nossa base de , o próximo primo seria:$p_0 = 2$

$\qquad \displaystyle p_1 = \min \{ x > p_0 \mid -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1 = 0) \}$

Ou, como vemos ao traçar isso : $p_1 = 3$ .

Podemos repetir o processo para primos avaliando cada candidato a cada candidato recorrente. Suponha que queremos obter o próximo primo, . Nossa função candidata se torna:p $n$$p_2$

$\qquad \displaystyle \begin{align} p_2 = \min\{ x > p_1 \mid f_{p_1}(x) + (&(-\cos(2\pi(x+1)/p_1) + 1) \\ \cdot &(-\cos(2\pi(x+2)/p_1) + 1)) = 0\} \end{align}$

Onde:

$\qquad \displaystyle f_{p_1}(x) = -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1$ , como acima.

É fácil ver que cada função de componente se torna zero em valores inteiros e é igualmente fácil mostrar como isso captura inteligentemente nossos relacionamentos em forma de AND e XOR, explorando as propriedades de adição e multiplicação no contexto de um sistema trigonométrico. equações

A recorrência se torna:

$\qquad f_{p_0} = 0\\ \qquad p_0 = 2\\ \qquad \displaystyle f_{p_n}(x) = f_{p_{n-1}}(x) + \prod_{k=2}^{p_{n-1}} (-\cos(2\pi(x+k-1)/p_{n-1}) + 1)\\ \qquad \displaystyle p_n = \min\left\{ x > p_{n-1} \mid f_{p_n}(x) = 0\right\}$

... onde todo o problema depende da capacidade de avaliar o operador $\min$ nessa função em tempo polinomial. Esta é, de fato, uma generalização da Peneira de Eratóstenes .

Trabalhando código Python para demonstrar a recorrência:

from math import cos,pi

def cosProduct(x,p):
    """ Handles the cosine product in a handy single function """
    ret = 1.0
    for k in xrange(2,p+1):
        ret *= -cos(2*pi*(x+k-1)/p)+1.0
    return ret

def nthPrime(n):
    """ Generates the nth prime, where n is a zero-based integer """

    # Preconditions: n must be an integer greater than -1
    if not isinstance(n,int) or n < 0:
        raise ValueError("n must be an integer greater than -1")

    # Base case: the 0th prime is 2, 0th function vacuous
    if n == 0:
        return 2,lambda x: 0

    # Get the preceding evaluation
    p_nMinusOne,fn_nMinusOne = nthPrime(n-1)

    # Define the function for the Nth prime
    fn_n = lambda x: fn_nMinusOne(x) + cosProduct(x,p_nMinusOne)

    # Evaluate it (I need a solver here if it's tractable!)
    for k in xrange(p_nMinusOne+1,int(p_nMinusOne**2.718281828)):
        if fn_n(k) == 0:
            p_n = k
            break

    # Return the Nth prime and its function
    return p_n,fn_n

Um exemplo rápido:

>>> [nthPrime(i)[0] for i in range(20)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]

O problema é que agora estou passando dos limites, matematicamente e como cientista da computação. Especificamente, não sou competente com a análise de Fourier , com a definição de coberturas uniformes ou com o plano complexo em geral, e estou preocupado que essa abordagem seja totalmente errada ou oculte um horror à espreita de um problema 3SAT que a eleva a NP-completude.

Portanto, tenho três perguntas aqui:

1. Dada minha recorrência concisa acima, é possível calcular deterministicamente ou estimar a localização dos zeros no tempo e espaço polinomial?
2. Em caso afirmativo ou não, está ocultando outros subproblemas que tornariam intratável uma solução polytime ou polyspace?
3. E se, por algum milagre (1) e (2) persistir, que melhorias dinâmicas na programação você faria para satisfazer essa recorrência, de alto nível? Claramente, a iteração sobre os mesmos números inteiros por meio de múltiplas funções é deselegante e bastante dispendiosa.

O artigo a seguir mostra que o PRIMES está em P (também ganhou o prêmio Gödel em 2006):

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf

Ao definir a solução do procedimento de minimização da N-prime para o algoritmo AKS PRIMES (módulo a subtração), podemos obter efetivamente uma solução tratável para a relação de recorrência (se você puder provar que o gap principal é fornecido pela relação de recorrência).

Os códigos-fonte podem ser encontrados na internet. Não estou apontando para eles aqui porque não os verifiquei pessoalmente.

No entanto, como ainda podemos ter o limite superior de para verificar todos os números ...$\sqrt{n}$