O que é um exemplo de uma fórmula 3-CNF insatisfatória?

15

Estou tentando entender uma prova de completude do NP que parece girar em torno do SAT / 3CNF-SAT.

Talvez seja tarde, mas receio que não consiga pensar em uma fórmula 3CNF que não possa ser satisfeita (provavelmente estou perdendo algo óbvio).

Você pode me dar um exemplo para essa fórmula?

logic satisfiability 3-sat

— user11171
fonte

29

Tecnicamente, você pode escrever $x\wedge \neg x$ em 3-CNF como $(x\vee x\vee x)\wedge (\neg x\vee \neg x\vee \neg x)$ , mas provavelmente deseja um "real" "exemplo.

Nesse caso, uma fórmula 3CNF precisa de pelo menos 3 variáveis. Como cada cláusula exclui exatamente uma atribuição, isso significa que você precisa de pelo menos $2^3=8$ cláusulas para ter uma fórmula não satisfatória. De fato, o mais simples é:

(x \lor y \lor z) \land (x \lor y \lor \neg z) \land (x \lor \neg y \lor z) \land (x \lor \neg y \lor \neg z) \land (\neg x \lor y \lor z) \land (\neg x \lor y \lor \neg z) \land (\neg x \lor \neg y \lor z) \land (\neg x \lor \neg y \lor \neg z)

$(x\vee y\vee z)\wedge (x\vee y\vee \neg z)\wedge (x\vee \neg y\vee z)\wedge(x\vee \neg y\vee \neg z)\wedge(\neg x\vee y\vee z)\wedge(\neg x\vee y\vee \neg z)\wedge(\neg x\vee \neg y\vee z)\wedge(\neg x\vee \neg y\vee \neg z)$ Não é difícil ver que esta fórmula é insatificável.

— Shaull
fonte

talvez eu esteja sendo bastante ingênuo aqui, mas por que você não pode realizar uma série de comparações para determinar se existem

2^{v}

$2^v$ conjuntos de expressões não equivalentes? -

v

$v$ é o número de variáveis únicas. Se contei correctamente, há apenas

\frac{n (n - 1)}{2}

$\frac{n(n-1)}{2}$ que sejam feitas comparações

— Ben Crossley

@BenCrossley - não sei o que você quer dizer. Você pode dar um exemplo?

— Shaull

8

Se você quiser exemplos mais complexos dessas fórmulas, consulte alguns problemas de benchmark do SATLIB . O ToughSAT também é uma boa ferramenta para criar instâncias 3-SAT; é fácil criar instâncias satisfatórias e insatisfatórias.

— Juho
fonte