A teoria dos grafos espectrais diz algo sobre o isomorfismo dos grafos

Existem pesquisas ou resultados que discutem o isomorfismo de grafos no contexto da teoria espectral de grafos?

Dois teoremas conhecidos da teoria dos grafos espectrais são:

1. Dois gráficos são chamados isospectral ou cospectral se as matrizes de adjacência dos gráficos tiverem multisets iguais de valores próprios.

2. Quase todas as árvores são cospectrais.

3. Os autovalores da matriz de adjacência de um gráfico são invariantes sob nova identificação (mas essa não é uma condição necessária e suficiente).

Além disso, o isomorfismo gráfico é "fácil" de resolver?

O isomorfismo gráfico foi mencionado junto com os testes de primalidade já em 1971 no famoso artigo de Cook sobre NP-completeness. Cook menciona que ele não conseguiu provar a completude de ambos os problemas. Atualmente, sabíamos que o teste de primalidade está em P, mas o status do isomorfismo gráfico ainda é desconhecido. A maioria dos especialistas conjectura que é "NP intermediário", ou seja, não em P, mas não em NP completo. Alguma conjetura de que deve ser solucionável em tempo quase-polinomial (algoritmos em execução no tempo ). O algoritmo mais conhecido atualmente, devido a Luks, tem tempo de execução . Ele usa o chamado método da teoria de grupos.$2^{\log^{O(1)} n}$$2^{O(\sqrt{n\log n})}$

As duas abordagens mais comuns são a individualização / refinamento e o método da teoria de grupos. A primeira abordagem tenta combinar vértices de um gráfico com vértices do outro. Dado um vértice de grau pertencente ao primeiro gráfico, ele só pode corresponder a um vértice de grau no outro gráfico, mas isso não oferece economia se os dois gráficos forem regulares. A individualização / refinamento é uma estrutura para gerar "tipos" de vértices mais detalhados.$d$$d$$d$

É possível que uma abordagem semelhante possa aprimorar o método espectral (que, como afirmado, falha nos gráficos cospectrais), mas não conheço nenhum trabalho nesse sentido (embora possa existir; não sou especialista nesta área).

O método da teoria de grupos reduz o isomorfismo de grafos ao problema de encontrar geradores para os grupos de grafos de automorfismos. Dados dois gráficos a idéia é calcular geradores para e verificar se algum deles alterna um vértice de com um vértice de . Para mais detalhes, consulte, por exemplo, notas de aula de Arvind.$G_1,G_2$$\operatorname{Aut}(G_1 \cup G_2)$$G_1$$G_2$

Para uma visão geral recente do estado da arte, consulte um artigo de Babai; Babai é um dos principais pesquisadores da área.

O isomorfismo prático dos grafos é uma questão completamente diferente. Uma visão geral recente pode ser encontrada em um artigo de McKay, autor do popular pacote nauty.