Teorema da incompletude de Gödels (primeiro) e o problema da parada - Quão limitante é?

Quando ouvi essas coisas pela primeira vez, fiquei muito fascinado, pois pensava que isso realmente limita a matemática e as ciências em geral. Mas quão praticamente relevantes são essas coisas?

Para o problema da parada: Existem mais do que alguns casos construídos artificialmente, em que não se pode decidir se o algoritmo será encerrado ou não?

Para o Teorema da Incompletude: Existem mais do que alguns casos construídos artificialmente, em que não se pode provar / refutar a afirmação?

Estou perguntando isso, porque parece que na maioria das áreas da ciência não importa realmente que haja limitações tão fundamentais. Eles estão lá? Gostaria de saber onde isso realmente define um limite e onde é realmente relevante.

O problema da parada sendo indecidível tem muita relevância prática, aqui está um exemplo rápido:

Escrever um software antivírus é difícil: não podemos decidir se um determinado pedaço de código é malicioso, porque, se pudéssemos, poderíamos decidir o problema da interrupção.

Para ver isso, pegue um código que usa como entrada uma máquina de Turing $M$ e uma palavra de entrada $w$ e faz algo malicioso se e somente se $M$ pára na entrada $w$. Se pudéssemos decidir se um determinado pedaço de código era malicioso, poderíamos decidir se esse pedaço de código era malicioso, mas poderíamos decidir o problema da interrupção, que sabemos que não podemos fazer.

O que isto está dizendo é que não existe um software antivírus perfeito, isso não pode ser feito. Isso não significa que não devemos tentar escrever um software antivírus, apenas que nunca conseguiremos escrever um software perfeito. De fato, qualquer declaração sobre como decidir o que os programas fazem é indecidível (veja o teorema de Rice ).

No que diz respeito ao teorema de Godel, o teorema de Goodstein é um exemplo de uma declaração que é improvável usando os axiomas de Peano.

Para o problema da parada: Existem mais do que alguns casos construídos artificialmente, em que não se pode decidir se o algoritmo será encerrado ou não?

existem alguns contextos "aproximadamente práticos / aplicados" com pesquisa ativa em que o problema da parada desempenha um papel:

• prova automatizada de teoremas . provar que os teoremas dos computadores estão dentro dos mesmos limites de indecidibilidade do problema de parada.

• provar que o encerramento de programas para programas reais é uma área de pesquisa e aparece em, por exemplo, lógica do compilador e análise de programas.

• A complexidade de Kolmogorov tenta estudar os limites teóricos dos algoritmos de compactação de dados. encontrar uma compressão ideal (em certo sentido, ou seja, encontrar a menor MT comprimindo uma string) é indecidível.

• a indecidibilidade aparece em alguns problemas físicos. por exemplo, sistemas dinâmicos .

• um problema básico estudado chamado " problema do castor ocupado" . ainda teórico, mas menos abstrato que o problema da parada e estudado em particular por sua conexão. os pesquisadores tentaram resolver isso por décadas para "pequenas" MTs com poucos estados / símbolos.

Aqui está uma citação relacionada / interessante de um artigo recente que estuda o problema dos castores ocupados "problemas na teoria dos números da competição dos castores ocupados" de Michel (p.3):

Na verdade, o problema de parada de máquinas de Turing lançado em uma fita em branco é m-completo, e isso implica que esse problema é tão difícil quanto o problema da provabilidade de uma afirmação matemática em uma teoria lógica como o ZFC (Zermelo Fraenkel axioma da escolha). Assim, quando máquinas de Turing com mais e mais estados e símbolos são estudadas, potencialmente todos os teoremas da matemática serão atendidos. Quando mais e mais máquinas de Turing sem interrupção são estudadas para se provar sem interrupção, é preciso esperar enfrentar problemas difíceis em matemática, ou seja, problemas que o conhecimento matemático atual não pode resolver.

em outras palavras, o problema da parada realmente codifica / encapsula o desafio de tentar provar novos teoremas matemáticos em matemática / CS e, portanto, pode ser considerado extremamente profundo / prático / aplicado nesse sentido. (no entanto, enquanto alguns consideram essa observação óbvia ou trivial, essa também geralmente não é uma opinião comum / expressa em voz alta.)

Estou respondendo a uma de suas duas perguntas, sobre o problema da parada.

Primeiro, a indecidibilidade do problema de parada não indica que você não pode decidir se uma determinada MT não é interrompida. Ele afirma que não há algoritmo geral que possa decidir isso para todas as MT.

Esta é uma declaração sobre nossos modelos do que constitui computação. Mas, de acordo com a tese de Turing-Church, é tudo o que temos para expressar compaixão.

Em relação à relevância, ela se baseia em máquinas de Turing construídas artificialmente. Mas então, todas as MT são bastante artificiais e construídas apenas para afirmar alguns fatos sobre computação. Se uma MT é mais relevante do que outras na prática é uma questão tão importante quanto o sexo dos anjos, ou o número deles que podem ficar na cabeça de uma agulha.

A indecidibilidade do problema da parada nos diz que existem questões gerais que não podem ser resolvidas por uma técnica geral aplicável a todos os casos. O que quero dizer com pergunta geral é uma pergunta dependendo de alguns parâmetros, onde a resposta deve ser encontrada para alguns valores dos parâmetros.

Lembre-se de que o objetivo de grande parte de nossa matemática é encontrar técnicas gerais para resolver uma família de problemas. Um exemplo típico é a resolução de equações. A indecidibilidade do problema da parada nos diz que isso nem sempre é possível.

Por exemplo, ele pode ser usado para mostrar que não existe uma técnica geral para decidir se uma gramática livre de contexto é ambígua.

No entanto, sua pergunta é válida. Pode ser que um problema seja indecidível porque você o tornou um pouco geral demais. Possivelmente, restringindo-o um pouco, você pode decidir por uma subfamília útil e ainda grande o suficiente.

Não tenho um exemplo espetacular em mente, mas tenho certeza de que deve haver alguns.

Lembro-me de um caso real de um problema de análise de programa que foi provado completo como NP (a menos que fosse indecidível, não me lembro bem). Contra todos os conselhos, um estudante de doutorado decidiu enfrentá-lo de qualquer maneira. Ele conseguiu mostrar que algumas restrições ao problema, que pouco importavam na prática, o transformaram em um problema muito tratável, possibilitando o uso de várias ferramentas de análise e otimização de programas.