Qual é a altura média de uma árvore binária?

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Existe alguma definição formal sobre a altura média de uma árvore binária?

Eu tenho uma pergunta tutorial sobre como encontrar a altura média de uma árvore binária usando os dois métodos a seguir:

A solução natural pode ser usar o comprimento médio de todos os caminhos possíveis, da raiz até a folha, ou seja,

. $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)$
Outra opção é defini-lo recursivamente, ou seja, a altura média de um nó é a média sobre as alturas médias das subárvores mais uma, ou seja,

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1$

com para folhas e para espaços vazios. $\operatorname{avh}_2(l) = 1$ $l$ $\operatorname{avh}_2(\_) = 0$

Com base no meu entendimento atual, por exemplo, a altura média da árvore $T$

é pelo segundo método, que está usando recursão. $\operatorname{avh}_2(T) = 1.25$

$\operatorname{avh}_1(T) = (1+2)/2=1.5$

— Eterno
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Você pode fornecer algum contexto? Não existe uma definição matemática "correta"; você pode definir "altura média de uma árvore binária" como desejar. (Média do que calcula em que distribuição ?) Mas definições diferentes serão mais ou menos úteis para aplicativos diferentes.

— JeffE 16/07

@JeffE "Não é imediatamente óbvio como definir a altura média de uma árvore binária. Talvez a solução mais natural seja o comprimento médio dos caminhos possíveis, da raiz à folha. Uma solução mais simples (talvez até simplista) quer dizer que a altura média de um nó é a média acima das alturas médias das subárvores mais uma. Você acha mais fácil codificar essa alternativa. Você pode dar exemplos para demonstrar a diferença? "

— Timeless

Tentei deixar sua postagem mais clara, fornecendo definições precisas das duas variantes. Verifique se eu interpretei seu texto corretamente. Em particular, estava faltando a âncora para a segunda variante; se você pega folhas com altura um ou zero faz a diferença.

— Raphael

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$\operatorname{avh}_1$

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(N(l,r)) = \frac{\operatorname{lv}(l)(\operatorname{avh_1}(l) + 1) + \operatorname{lv}(r)(\operatorname{avh_1}(r) + 1)}{\operatorname{lv}(l) + \operatorname{lv}(r)}$

$\operatorname{avh}_1(l) = 0$ $l$ $\operatorname{avh}_1$

$\operatorname{avh}_1$ $\operatorname{avh}_2$ $\operatorname{avh}_2$ $\operatorname{avh}_1$ $\operatorname{avh}_1$ $\operatorname{lv}(l) = \operatorname{lv}(r)$ isso é imediatamente aparente. Em árvores desequilibradas, no entanto, elas são diferentes.

Seus cálculos estão realmente corretos (de acordo com sua definição); observe que a árvore de exemplo não é balanceada para folhas.

— Rafael
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{avh}_{1}

$\operatorname{avh}_1$

{avh}_{1}

$\operatorname{avh}_1$

Quero dizer o código de implementação usando recursão

— Timeless

@ nulo: Você pode copiar a fórmula quase literalmente , desde que incorpore o caso base. Como fazer isso depende precisamente da linguagem de programação e da implementação da árvore. Eu sugiro que você recorra ao Stack Overflow se a implementação for um obstáculo para você.

— Raphael

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Edit: Jeffe faz um bom ponto em seu comentário acima. Você provavelmente deve ler "correto x incorreto" na resposta a seguir como "conveniente / consistente x inconsistente".

Parece que seu segundo cálculo está incorreto. Deixe a altura de uma subárvore com um único nó (ou seja, uma folha) seja 0. Em seguida, a altura da raiz da subárvore em:

altura em 4 é 0
altura em 3 é 0
altura em 2 é altura média em 3 + 1 = 0 + 1 = 1
altura em 1 é a média das alturas em 2 e 3 = (0 + 1) / 2 + 1 = 1,5

Acho que você está fazendo o primeiro cálculo corretamente e 1,5 é a resposta certa.

— Joe
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a ideia é nó nulo com altura -1, com base na segunda abordagem, a altura média de um nó é média de subárvores mais 1, a altura média do nó 4 é ((-1) + (- 1)) / 2 + 1 = 0 , a altura média do nó 2 é (0 + (- 1)) / 2 + 1 = 0,5 e, portanto, a altura média da raiz é 1,25.

— Timeless

@ null Você pode definir dessa maneira se insistir, mas as duas definições não serão consistentes.

— 21712 Joe