Decidibilidade do idioma do prefixo

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No meio do período, houve uma variante da seguinte pergunta:

Para um decidível, defina Mostre que não é necessariamente decidível. $L$
$Pref (L) = {x ∣ \exists y s.t. x y \in L}$ $\text{Pref}(L) = \{ x \mid \exists y \text{ s.t. } xy \in L\}$ $\text{Pref}(L)$

Mas se eu escolher $L=\Sigma^*$ , acho que $\text{Pref}(L)$ também é $\Sigma^*$ , portanto, decidível. Também $L=\emptyset$ fornece o mesmo resultado. E como $L$ deve ser decidido, não posso escolher o problema da parada ou algo assim.

Como posso encontrar $L$ tal, o $\text{Pref}(L)$ não é decidível?
Quais condições em tornarão decidíveis e quais as tornarão indecidíveis? $L$ $\text{Pref}(L)$

computability undecidability

— Tocou.
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Observe que, usando um quantificador existencial na frente de uma linguagem decidível, podemos obter qualquer linguagem re, ou seja, toda linguagem re é expressável como

{x \in Σ^{*} ∣ \exists y \in Σ^{*} ⟨ x, y ⟩ \in V}

$\{ x\in \Sigma^* \mid \exists y \in \Sigma^* \ \langle x,y \rangle \in V \}$

onde é uma linguagem decidível. Isso inclui re linguagens indecidíveis como . $V$

A_{T M} = {⟨ e, x ⟩ ∣ e encodes a Turing machine which accepts x}

$A_{TM} = \{ \langle e, x\rangle\ \mid \text{$e$ encodes a Turing machine which accepts $x$} \}$

A única diferença aqui é que aqui temos que nos separar e . O truque padrão é usar um novo símbolo para separar as duas partes (suponha que o separador pertença a ). Portanto, qualquer linguagem re incluindo as indecidíveis pode ser expressa neste formato. $x$ $y$ $y$

Para a segunda pergunta, não existe uma maneira algorítmica geral de verificar se os prefixos de uma determinada linguagem decidível são indecidíveis. Isto segue o teorema de Rice.

— Kaveh
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você pode dar explicitamente o que cria ?

V

$V$

A_{T M}

$A_{TM}$

— Ran G.

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Seja uma cadeia de caracteres destinada a representar uma computação de em , verificará se é uma computação de

em

aceitação .

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

V

$V$

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

— Kaveh

Essa é uma boa solução!

— Ran G.

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Meta-conhecimento: você deseja encontrar uma linguagem não decidível que, no entanto, possua alguma propriedade computacional. Uma linguagem arbitrária e não decidível provavelmente não o levará muito longe. Mas um semi-decidível…

Dica mais forte: o que é uma linguagem semi-decidível? Significa que podemos enumerar as palavras: é um conjunto de palavras tal forma que exista um número inteiro tal que $u$ $n$

u = f (n)

$u = f(n)$

Olhe para esta equação um pouco, com a decisão e os prefixos em mente.

Intuitivamente falando, suponha que você tenha e gostaria de testar se está em . Em geral, você não se sairá melhor do que marcar , , etc. onde são as letras do alfabeto. Esta é uma função recursiva parcial que testa a associação em . Obviamente, sabíamos que $x$ $\mathrm{Pref}(L)$ $x a$ $x b$ $x a a$ $a,b,\cdots$ $\mathrm{Pref}(L)$ $\mathrm{Pref}(L)$ já estava re; o que precisamos mostrar é que, às vezes, não há método alternativo. Vamos pegar um conjunto que é re e não recursivo, e seja uma enumeração de ( ). $S \subset \mathbb{N}$ $f$ $S$ $S = {f(x) \mid x\in\mathbb{N}}$

Suponha que o alfabeto contenha três símbolos , e (se você tiver apenas dois símbolos , codifique como , como e como ). Se , deixar ser escrita em base de 2, utilizando os símbolos de e , sem que conduz . $0$ $1$ $:$ $\{\aleph,\beth\}$ $0$ $\aleph\aleph$ $1$ $\aleph\beth$ $:$ $\beth$ $n\in\mathbb{N}$ $\bar n$ $n$ $0$ $1$ $0$

Vamos . Em inglês simples, pegamos os elementos de e aderimos ao seu índice de enumeração. é claramente decidível (verifique se existe um único que as seqüências de dois dígitos não contenham e que a sequência do primeiro dígito soletra a imagem por do número que o segundo soletra). No entanto, decidir se algum é um prefixo de é equivalente a decidir se está em $L = \{\bar y\mathord:\bar x \mid y = f(x)\}$ $S$ $L$ $:$ $0$ $f$ $\bar y$ $L$ $y$ , o que você não pode prescindir de pois não é recursivo por suposição. Formalmente, não é decidível, porque não é decidível. $S$ $x$ $S$ $\mathrm{Pref}(L)$ $\mathrm{Pref}(L) \cap \{0,1\}^*\mathord: = S\mathord:$

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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