O que é no cálculo de construções?

Eu estou olhando para o Cálculo de Construções e seu lugar no Cubo Lambda .

Se bem entendi, cada eixo do cubo pode ser considerado como adicionando outra operação envolvendo tipos ao cálculo de tipo simples, . O primeiro eixo adiciona operadores de tipo a termo, o segundo operador de tipo a tipo e o terceiro operador de digitação dependente ou termo a tipo. O CoC tem todos os três.$\lambda_\to$

No entanto, o CoC introduz um termo e declara que pelas regras de inferência , mas, caso contrário, não é usado. Eu entendo que é para as proposições de mesmo nome, mas as proposições lógicas não são definidas em termos disso.$Prop$$Prop : Type$

Você poderia me explicar para que serve o , onde / quando ele aparece e explicar em termos dos eixos do cubo (se é que é possível fazê-lo)?$Prop$

Na teoria tradicional de tipos de Martin-Löf, não há distinção entre tipos e proposições. Isso está sob o lema "proposições como tipos". Mas às vezes há razões para distingui-las. O CoC faz exatamente isso.

Existem muitas variantes de CoC, mas a maioria teria mas não . Outra diferença aparece quando temos infinitos universos de tipos e tornamos impredicativo (é isso que Coq faz). Concretamente, considere uma variante do CoC em que temos e infinitos tipos de universos , , com A regra de formação paraT y p e : P r o p P r o p P r o p T y p e 1 T y p e 2 T y p e 3 P r o

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ ¸¸x:AB(x)AB(x $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$precisa explicar como formar quando é uma proposição ou um tipo, e é uma proposição ou um tipo. Existem quatro combinações:$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

O mais interessante é a diferença entre o segundo e o quarto caso. A quarta regra diz que se está no ésimo universo e está no ésimo universo, então o produto está no -thth universo. Mas a segunda regra está nos dizendo que não é apenas "mais um universo na parte inferior", porque em assim que faz, não importa quão grande é. Isso é impredicativo porque nos permite definir elementos dei B ( x ) j max ( i , j ) P r o p ∏ x $A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$ P r o p B(x)A P r o p P r o $\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$quantificando sobre si.$\mathsf{Prop}$

Um exemplo concreto seria versus O primeiro produto reside em , mas o segundo está em (e não em , apesar de estarmos quantificando sobre um elemento de ). Em particular, isto significa que um dos valores possíveis para é em si. Π Um : P r o p Um→Um T y p e 2Prop T y p e um T y p e 1UmΠ Um : P r o p Um→

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$