Simulação universal de máquinas de Turing

Seja uma função construtiva de tempo fixa.$f$

O resultado clássico da simulação universal para as TMs (Hennie e Stearns, 1966) afirma que existe uma TM duas fitas que, dada a$U$

• a descrição de uma TM , e$\langle M \rangle$
• uma sequência de entrada ,$x$

corre para as etapas e retorna a resposta de em . E podem ser considerados como qualquer função no .$g(|x|)$x g ω ( f ( n ) lg f ( n ) $M$$x$$g$$\omega(f(n)\lg f(n))$

Minhas perguntas são:

1. Qual é o resultado de simulação mais conhecido em uma única fita TM? O resultado acima também se mantém?

2. Existe alguma melhoria no [HS66]? Podemos simular TMs em uma TM de duas fitas para etapas de maneira mais rápida? Podemos tomar g ( n ) para estar em ω ( f ( n ) ) no lugar de ω ( f ( n ) lg f ( n ) ) ?$f(n)$$g(n)$$\omega(f(n))$$\omega(f(n)\lg f(n))$

Qual é o resultado de simulação mais conhecido em uma única fita TM? O resultado acima também se mantém?

Podemos simular uma TM múltipla fita em uma única fita com aumento quadrático no tempo. O tempo de simulação é . O aumento quadrático é necessário, pois existem idiomas (por exemplo, palíndromos) que requerem tempo Ω ( n 2 ) em um DTM de fita única, mas podem ser resolvidos no tempo O ( n ) em um DTM de duas fitas.$O(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n)$

Em resumo, o resultado acima não funciona quando o simulador é uma TM de fita única.

Para a simulação de TMs de fita única em uma TM de fita única (com alfabeto finito arbitrário), o resultado é válido, ou seja, a simulação pode ser feita com o aumento do fator no tempo. Veja (2) e (3). A referência parece ser (6).$\lg$

Existe alguma melhoria no [HS66]? Podemos simular TMs em uma TM de duas fitas para etapas de maneira mais rápida? Podemos pegar g $f(n)$ para estar em ω ( f ( n ) ) no lugar de ω ( f ( n ) lg f ( n ) ) ?$g(n)$$\omega(f(n))$$\omega(f(n)\lg f(n))$

Parece que não houve nenhuma melhoria, pois isso implicaria um teorema da hierarquia de tempo melhor do que o atualmente conhecido.

Correção: Os teoremas habituais da hierarquia são baseados em classes de complexidade de tempo definidas usando TMs de fita única. Para TMs tape, um resultado apertado semelhante ao teorema da hierarquia espacial é comprovado por Furer em 1982 (5). O fator lg não é necessário. Veja também (4).$n$$\lg$

Referências:

1. Peter van Emde Boas, "Modelos de Máquinas e Simulação", no Manual de Ciência da Computação Teórica, 1990
   (em particular, pp. 18-21)

2. Michael Sipser, "Introdução à Teoria da Computação", 2006
   (as classes de complexidade de tempo são definidas usando TMs com fita simples infinita em ambas as direções e alfabeto finito arbitrário, consulte as páginas 140 e 341)

3. Odifreddi, "Teoria Clássica da Recursão", vol. I e II, 1989 e 1999
   (as definições são semelhantes às de Sipser, consulte Def. I.4.1 no vol. I página 48, Def. VII.4.1 no vol. II página 67 e Thm. VII.4.15 na vol. II página (83)

4. Piergiorgio Odifreddi, "Teoria Clássica da Recursão", vol. II, 1999
   (página 84)

5. Martin Fürer, " A estreita hierarquia determinística do tempo ", 1982

6. Juris Hartmanis, " Complexidade Computacional de Computações com Máquina de Turing com Uma Fita ", 1968

7. FC Hennie e RE Stearns, " Simulação em Duas Fitas de Máquinas de Turing Multitape ", 1966

8. Outras questões relacionadas:

   1. Limites inferiores e separação de classes ,
   2. $\lg f$
   3. Alfabeto da máquina de Turing de fita única ,
   4. Para o teorema da hierarquia de tempo, como a entrada é traduzida eficientemente? ,
   5. um comentário de Luca Trevisan.