Time(o(f))⊊Time(O(f)f
DTime(g)⊊DTime(f)kk+1k
DTime(o(f))⊊DTime(O(f))
De fato, já temos o seguinte.
Teorema: Para todo e todo da forma ( e racional; ou ), .ε>0fna(logn)baba>1a=1∧b≥0DTime(O(f/(logf)ε)⊊DTime(O(f))
Prova: se todo idioma com um algoritmo de decisão puder ser decidido no tempo , preenchendo a entrada, todo idioma com um algoritmo de decisão pode ser decidido no tempo (onde é fixo ) e, assim, para cada constante , , contradizendo o teorema da hierarquia de tempo.O(f)O(f/(logf)ε)O(f(n)(logf(n))kε)O(f(n)(logf(n))(k−1)ε)k≥0c≥0DTime(O(f(n)(logf(n))c))=DTime(O(f(n)))
No entanto, essa prova não construtiva tem três limitações:
* A prova exige que seja bem-comportado (não apenas construtível no tempo, mas também em certo sentido contínuo).
* Não conhecemos um idioma específico que esteja em mas não em . Para um suficientemente grande , simulação de -tape máquinas Turing não é em , mas que não têm de excluir que, mesmo para e , o mínimo que é> BB (BB (1000)), onde BB é a função de castor ocupado.
* Não sabemos que a inclusão é robusta.f
DTime(O(f))DTime(O(f/(logf)ε)kkDTime(O(f/(logf)ε)ε=1f(n)=n2k
DTime(O(f/(logf)ε) falhará em algumas entradas, mas não provamos que ele falhe em algumas entradas para todos, com exceção de muitos tamanhos de entrada finitos (embora seja muito surpreendente se não).