Justificação do log f no teorema da hierarquia DTIME


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Se olharmos para o teorema da hierarquia DTIME, temos um log devido à sobrecarga na simulação de uma máquina de Turing determinística por uma máquina universal:

DTIME(flogf)DTIME(f)

Não temos esse tipo de sobrecarga para o NTIME do DSPACE. Uma justificativa básica vem dos detalhes da prova, considerando a diferença entre os simuladores.

Minha pergunta é a seguinte: sem considerar os detalhes da prova do teorema da hierarquia DTIME, existe uma justificativa para esse log ou pode ser apenas uma consequência da prova e seria razoável imaginar que se f=o(g) então

DTIME(f)DTIME(g)

Na minha opinião, considerando que a explicação da simulação é uma boa justificativa, ela deve ser justificada por provar que, se obtivéssemos um resultado melhor, poderíamos criar uma simulação melhor.


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Eu acho que o que você escreveu no último parágrafo é menos provável que o contrário. Nomeadamente, não creio que atualmente possamos descartar a possibilidade de que uma afirmação mais forte possa ser comprovada por um método diferente da simulação. Por outro lado, podemos descartar a possibilidade de que uma afirmação mais forte possa ser comprovada por simulação , construindo um mundo relativizado em que a afirmação mais forte falha.
Tsuyoshi Ito

Tanto quanto eu entendo, reduzir a sobrecarga da simulação Ω(logn) no teorema da hierarquia determinística do tempo seria um resultado inovador. Por um lado, vários resultados podem ser imediatamente fortalecidos.
András Salamon

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Isso é um tanto pedante, mas, a menos que você tenha outras restrições adicionais sobre f e g (o padrão seria f e g sendo construtíveis no tempo), existem f e g de tal modo que f = o (g) e DTIME (f) = DTIME (g). Para ver isso, considere o conjunto incontável de todas as funções x ^ i, com i real, 0 <i <= 1. Se o Teorema da Hierarquia de Tempo fosse verdadeiro para todos os pares de tais funções, obteríamos um conjunto incontável de idiomas, todos decidíveis pelas máquinas de Turing. Isso contradiz o fato de que o conjunto de máquinas de Turing é contável.
Abel Molina

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@abel Presumo, é claro, que f e g sejam construtíveis no tempo, como no teorema da hierarquia de tempo atual.
Ludovic Patey

sim, existe uma justificativa para a prova atual, mas uma resposta completa para esse problema / pergunta provaria ser necessária e não apenas suficiente. como nos comentários acima, um limite mais estreito é um problema em aberto. em hopcroft / ullman 1976, eles apontam que o fator log (n) é devido à redução de uma TM multitape em uma 2-tape TM e também têm a prova relevante para essa redução. (juntamente com esta questão no entanto, sempre se perguntou como os THMs hierarquia ficaria diferente para uma teoria da complexidade com base em TMs única fita em vez de uma que permite TMs multitape parece estar relacionada com esta questão.)
vzn

Respostas:


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O teorema da hierarquia de tempo é o assunto do meu projeto de diploma, talvez você queira ver os comentários sobre minha pergunta Limites inferiores e separação de classes .

Olhando para trás para esta pergunta e como ela se relaciona com o que você está perguntando, tive uma idéia que pode mostrar que a sobrecarga da simulação de TM de fita única para fita única necessária para a prova do teorema não pode ser melhorada. Assim, é necessária outra abordagem se desejarmos melhorar esse resultado.

EDIT: Esta prova está incorreta; veja os comentários abaixo pelo motivo exato. Atualmente, estou editando a resposta para refletir isso.

A{0k1k|k0}

O(nlogn)

O(n)

o(T(n)logT(n))T(n)o(nlogn)AlogT(n) é o melhor que podemos fazer ao simular máquinas de fita múltipla com máquinas de fita única.

Sei que essa é uma afirmação forte, por isso posso estar errado na minha interpretação.

NTIMESPACE

DTIME(n)NTIME(n)PNPDTIME(nk)NTIME(n)k. Portanto, uma classe não determinística muito pequena é muito mais poderosa do que qualquer determinística. Portanto, dado o quão poderoso é o tempo não determinístico de um recurso, eu esperaria que uma quantidade maior de tempo determinístico fosse necessária para tornar uma MT mais poderosa para compensar o poder do não-determinismo.


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O(n)Ω(n2)

o(nlogn)PALINDROMES

o(n2)Ω(n2)o(n2)

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lg

lg

Existem alguns motivos e argumentos para usar TMs de fita única para definir classes de complexidade de tempo, mas o uso de TMs de fita única para definir classes de complexidade não é universal, por exemplo, consulte Lance Fortnow e Rahul Santhanam [2007], onde eles usam fitas múltiplas. TMs.

A referência original para o teorema da hierarquia de tempo é Hennie e Stearns [1966]. Eles provam o teorema das máquinas com duas fitas. A Teoria Clássica da Recursão de Odifreddi cita-os e Hartmanis [1968] e descreve uma prova semelhante à do livro de Sipser.

Ω(n2)o(n2)

  1. lg

  2. Para o segundo caso, o artigo fornece diretamente um idioma para a separação e não usa simulação. Isso usa propriedades particulares de TMs de fita única com tempo de execução sub-quadrático.

o(n2)

Como eu disse acima, a menos que você esteja comprometido com o modelo de fita única por algum motivo, mesmo quando o tempo é sub-quadrático, não há uma lacuna a ser preenchida, o teorema da hierarquia de tempo é o mais rígido possível.

PS: se estivermos usando TMs de fita múltipla, ou seja, uma máquina de Turing na classe pode ter um número fixo mas arbitrário de fitas, o resultado da Fürer não se aplica.

  1. Martin Fürer, " A estreita hierarquia determinística do tempo ", 1982
  2. Piergiorgio Odifreddi, "Teoria Clássica da Recursão", vol. II, 1999 (página 84)
  3. Juris Hartmanis, " Complexidade Computacional de Computações com Máquina de Turing com Uma Fita ", 1968
  4. FC Hennie e RE Stearns, " Simulação em Duas Fitas de Máquinas de Turing Multitape ", 1966
  5. Artigo de Lance Fortnow e Rahul Santhanam " Hierarquias do tempo: uma pesquisa ", 2007

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DTIMEk(f)k

@ Markus, sim, isso está correto, é semelhante ao gabinete de fita única. A única diferença é que o número de fitas é mais de uma, mas ainda é fixo, por exemplo, 2 fitas.
Kaveh

Consulte também Krzysztof Loryś, " Novos resultados da hierarquia de tempo para TMs determinísticas ", 1992. Outra referência é Kazuo Iwama, Chuzo Iwamoto, " Hierarquias de tempo e espaço aprimoradas das TMs off-line com uma fita ", 1998, que aprimora o fator de log para log de log para TMs de fita única.
Kaveh

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Time(o(f))Time(O(f)f

DTime(g)DTime(f)kk+1k

DTime(o(f))DTime(O(f))

De fato, já temos o seguinte.

Teorema: Para todo e todo da forma ( e racional; ou ), .ε>0fna(logn)baba>1a=1b0DTime(O(f/(logf)ε)DTime(O(f))

Prova: se todo idioma com um algoritmo de decisão puder ser decidido no tempo , preenchendo a entrada, todo idioma com um algoritmo de decisão pode ser decidido no tempo (onde é fixo ) e, assim, para cada constante , , contradizendo o teorema da hierarquia de tempo.O(f)O(f/(logf)ε)O(f(n)(logf(n))kε)O(f(n)(logf(n))(k1)ε)k0c0DTime(O(f(n)(logf(n))c))=DTime(O(f(n)))

No entanto, essa prova não construtiva tem três limitações:
* A prova exige que seja bem-comportado (não apenas construtível no tempo, mas também em certo sentido contínuo). * Não conhecemos um idioma específico que esteja em mas não em . Para um suficientemente grande , simulação de -tape máquinas Turing não é em , mas que não têm de excluir que, mesmo para e , o mínimo que é> BB (BB (1000)), onde BB é a função de castor ocupado. * Não sabemos que a inclusão é robusta.f
DTime(O(f))DTime(O(f/(logf)ε)kkDTime(O(f/(logf)ε)ε=1f(n)=n2k
DTime(O(f/(logf)ε) falhará em algumas entradas, mas não provamos que ele falhe em algumas entradas para todos, com exceção de muitos tamanhos de entrada finitos (embora seja muito surpreendente se não).


Resposta incrível !! :)
Michael Wehar
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