Resolvendo a relação de recorrência

Resolvendo a relação de recorrência . O livro do qual este exemplo é afirma falsamente que adivinhando e depois argumentando $T(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + n$
$T(n) = O(n)$ $T(n) \leq cn$

$\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*}$

uma vez que é constante. O erro é que não provamos a forma exata da hipótese indutiva. $c$

Acima, citei exatamente o que o livro diz. Agora, minha pergunta é por que não podemos escrever onde e agora temos e, portanto, ? $cn+n=dn$ $d=c+1$ $T(n) \leq dn$ $T(n) = O(n)$

Nota:

A resposta correta é $T(n) =O(n \log n).$
O livro que estou me referindo aqui é Introdução aos algoritmos de Cormen et al., Página 86, 3ª edição.

— Saurabh
fonte

Não, você não pode. Sua hipótese de indução é , e é isso que você precisa provar. Na verdade, a recorrência não resolve para .

T (n) \leq c n

$T(n)\le cn$

O (n)

$O(n)$

— A.Schulz

Os autores dão a resposta:

O erro é que não provamos a forma exata da hipótese indutiva, ou seja, que . $T(n) \leq cn$

É verdade que isso é difícil de entender se você não está acostumado a fazer induções (certo), porque elas não fazem a indução explícita / rigorosamente. Em resumo: você precisa ter uma constante para todos os , mas essa (des) prova constrói muitos (um por ). $c$ $n$ $n$

Por muito tempo, lembre-se do que significa: $T(n) \in O(n)$

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \exists n_0 \in \mathbb{N}.\, \forall n \geq n_0.\, T(n) \leq cn$

ou equivalente,

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \forall n \in \mathbb{N} T(n) \leq cn$ .

A segunda forma funciona melhor para uma indução, como você conhece a âncora. Então você precisa de uma constante que forneça um limite superior para todos os . $c$ $n$

Vamos inspecionar o que a indução faz:

Âncora de indução: a âncora de não é explicitamente dada, mas é constante, portanto, encontramos um adequado . $T$ $c$
Hipótese de indução: Há alguns para que para todos os , para alguns arbitrários mas fixos . $c$ $T(k) \leq cn$ $k\leq n$ $n$
Etapa indutiva: como mostrado na pergunta, construa para que . $d > c$ $T(n+1) \leq dn$

Então, com efeito, construímos uma nova constante para cada . Isso não se encaixa na definição de ! E, pior, é completamente sem sentido: toda função pode ser "delimitada" por qualquer outra função se você puder ajustar o fator com . $n$ $O$ $n$

Em relação à prova de indução, deve fazer parte da reivindicação (e é, oculta no ), que está ligada "fora" da indução. Então, o mesmo aparece em âncora, hipótese e passo. Veja a última parte desta resposta para um exemplo. $c$ $O$ $c$

— Rafael
fonte

Obrigado, entendi o ponto e, é claro, não faz sentido ter uma nova constante para cada . Mas como você escreveu "ou equivalentemente ..." (terceira declaração), ou seja, podemos sempre encontrar um para o qual é .

n

$n$

c

$c$

n_{0}

$n_0$

1

$1$

— Saurabh

Na prática, Geralmente funciona.

c = 10^{10^{100!}}

$c = 10^{10^{100!}}$

— 31412 JeffE

@SaurabhHota: Dado e a partir da primeira forma, funciona como constante para a segunda forma. A outra direção é imediata, ou seja, a constante é carregada com (ou um valor arbitrário, de fato).

n_{0}

$n_0$

c

$c$

c + max_{n \leq n_{0}} T (n) / n

$c + \max_{n \leq n_0} T(n)/n$

n_{0} = 1

$n_0=1$

— Raphael