Provando dureza NP de um problema estranho de partição gráfica

Estou tentando mostrar o seguinte problema é NP-difícil.

Entradas: Inteiro , e gráfico não direcionado conectado , um gráfico ponderado em vértices $e$ $G=(V,E)$

Saída: Partição de , obtida pela remoção de quaisquer arestas de que maximizem $G$ $G_p=(V,E_p)$ $e$ $E$

$max \sum_{G_{i} \in {G_{1}, G_{2}, . . ., G_{k}}} \frac{1}{| G_{i} |} {(\sum_{v_{j} \in V_{i}} w (v_{j}))}^{2},$ $\max \sum\limits_{G_i \in \{G_1,G_2,...,G_k\}} \frac1{|G_i|}\left(\sum_{v_j \in V_i}w(v_j)\right)^{\!2},$
onde $G_p=G_1 \cup G_2 \cup \dots \cup G_k$ e os elementos de $G$ são disjuntos.
$V_i$ é o vértice definido por $G_i$ e $w(v_j)$ é o peso de vértice $v_j$

Plain Inglês explicação: Queremos particionar um gráfico, removendo $e$ bordas para maximizar um objetivo. O objetivo calcula para cada um dos subgráficos disjuntos resultantes a soma dos vértices do subgrafo, quadratura esse valor e divide pela cardinalidade. Finalmente, somamos isso em todos os subgráficos.

Até agora, tentei reduzir de problemas difíceis de NP, como corte de proporção, partição (problema não gráfico) e multicut máximo. Eu também tentei mostrar casos especiais do problema que são difíceis de NP (menos ideal). A razão pela qual suspeito que esse problema seja NP-difícil (além da maioria dos problemas de particionamento de gráficos ser NP-difícil) é a presença do termo de cardinalidade e termos cruzados entre os pesos das partições. Qualquer sugestão de entrada / problema seria útil. Uma prova NP-hard para qualquer tipo de gráfico específico seria útil.

— Optimizer
fonte

Tente reduzir o problema da soma de subconjuntos?

— Xiamx #

Então devem ser os componentes conectados do gráfico , onde satisfazendo é o conjunto de arestas removidas?

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{k}

$G_1,G_2,\ldots,G_k$

G_{p} = (V, E - R)

$G_p=(V,\:E-R)$

R \subseteq E

$R\subseteq E$

| R | = e

$\lvert R\rvert=e$

— David Eisenstat

@DW eu tentei. Ter mais problemas com o termo de cardinalidade do que com quadratura. Para a quadratura, penso que pode ser possível construir um gráfico onde os termos cruzados desaparecer na solução alternando bordas ponderados positivos e negativos em um gráfico de cadeia ou grade

— Optimizer

@DavidEisenstat yes

— Otimizador

@xiamx Tenha cuidado; você deve reduzir de um problema difícil e não o contrário.

— Juho

Vamos reduzir o problema de cortes de várias vias, uma variante do mínimo cut $k$ , ao seu problema. Em particular, considere o problema mínimo de corte de três vias, que é difícil de NP para todo o peso da borda igual a 1 (consulte A complexidade dos cortes de várias vias ).

Um (mínimo) problema de corte tridirecional é: dado um gráfico e os terminais , encontre um conjunto mínimo de arestas modo que a remoção de de desconecta cada terminal dos outros. Sua versão de decisão é descobrir se é possível desconectar removendo não mais do que arestas, em que faz parte da entrada. $G = (V,E)$ $s_1,s_2,s_3\in V$ $E'\subseteq E$ $E'$ $E$ $s_i$ $s_1,s_2,s_3$ $w$ $w$

Dado o gráfico , terminais e inteiro , gostaríamos de reduzir o problema de corte de três vias ao seu "estranho problema de partição gráfica". Para cada terminal , adicionamos mais verteces para ser seus vizinhos. Como sugerido por seu nome, seria um número suficientemente grande. O peso de todas as vertentes é 0, exceto , cujos pesos são resp. Denote este novo gráfico por . É óbvio que podem ser desconectados removendo arestas em se e somente se puderem ser desconectados removendo $G$ $s_1,s_2,s_3$ $w$ $s_i$ $N$ $N$ $s_1,s_2,s_3$ $1,10,100$ $G'$ $s_1,s_2,s_3$ $w$ $G$ $w$ arestas em . $G'$

Se uma partição de desconecta , sua pontuação é aproximadamente , ou mais precisamente, não menos que pois a parte que contém não tem mais que verteces, onde é o número de verteces em . Por outro lado, se uma partição falhar em desconectar , sua pontuação não de . Quando é suficientemente grande, , então $G'_p$ $G'$ $s_1,s_2,s_3$ $10101/N$

\frac{10101}{N + n}

$\frac{10101}{N+n}$

s_{i}

$s_i$

N + n

$N+n$

n

$n$

G

$G$

G_{p}^{'}

$G'_p$

s_{1}, s_{2}, s_{3}

$s_1,s_2,s_3$

\frac{10060.5}{N - w}

$\frac{10060.5}{N-w}$

N

$N$

\frac{10101}{N + n} > \frac{10060.5}{N - w}

$\frac{10101}{N+n} > \frac{10060.5}{N-w}$

G

$G$ pode ser particionado em três direções removendo arestas se e somente se tiver uma partição removendo arestas, cuja pontuação seja pelo menos .

w

$w$

G^{'}

$G'$

w

$w$

\frac{10101}{N + n}

$\frac{10101}{N+n}$

— Tianren Liu
fonte

@ Otimizador, no problema original, corte mínimo de 3 vias, o vértice não tem peso. Portanto, não é possível restringir sua entrada no peso do vértice. Por outro lado, seu problema envolve vértice ponderado. Portanto, a prova acima mostra que seu problema é NP-completo, mesmo se você restringir a entrada na maioria das vertentes com peso zero.

— Tianren Liu 15/10

Não há terminal no problema mínimo de corte k. Você tem certeza do NP-complete do problema que você colocou lá?

— InformedA

@randomA, minimum

k

$k$ O problema de corte tem várias variantes. Uma variante inclui

k

$k$ terminais como parte da entrada, o objetivo é encontrar o custo mínimo

k

$k$ corte que desconecta estes

k

$k$ terminais. Essa variante é denominada problema de cortes de várias vias no artigo que citei. Devo esclarecer na minha resposta, obrigado pelo seu comentário.

— Tianren Liu

@randomA Esta possui uma boa descrição dessa versão do problema: math.mit.edu/~goemans/18434S06/multicuts-brian.pdf

— Otimizador