O conjunto de máquinas de Turing que para em no máximo 50 etapas em todas as entradas é decidível?

Deixe . Preciso decidir se F é decidível ou recursivamente enumerável. Eu acho que é decidível, mas não sei como provar. $F = \{⟨M⟩:\text{M is a TM which stops for every input in at most 50 steps}\}$

Meus pensamentos

Esta parte dos "50 passos" imediatamente transforma o sinal R para mim. Se fosse para informações específicas, seria decidível. No entanto, aqui está para cada entrada. Verificá-lo para infinitas entradas me faz pensar que o problema é co-RE , ou seja , seu complemento é aceitável.

Talvez eu possa verificar as configurações e ver que todas as configurações após 50 etapas não levam ao estado de aceitação - como faço isso?

computability undecidability

— Jozef
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Respostas:

$N$ $N \geqslant 1$

Como swegi observa em uma resposta anterior, se a máquina parar após no máximo etapas, somente as células na fita são significativas. Basta simular a máquina em todas as seqüências de entrada do formato , das quais existe um número finito. $N$ $0,1,\ldots,N-1$ $M$ $x \in \Sigma^N$

Se alguma dessas simulações falhar em entrar em um estado de parada pelotransição, isso indica que qualquer sequência de entrada começando com é aquela para a qual a máquina não para nas primeiras etapas. $N^{\text{th}}\:\!$ $x$ $N$
Se todas essas simulações forem interrompidas pelotransição, então pára dentro de etapas em todas as entradas de qualquer comprimento (das quais a subcadeia de comprimento é tudo em que atua). $N^{\text{th}}\:\!$ $M$ $N$ $N$

— Niel de Beaudrap
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E- Suponho que

tal forma que seu comprimento seja maior que

seja automaticamente rejeitado?

x

$x$

N

$N$

— Jozef

Por que ele não pode ir além da célula N dentro das N etapas da computação?

— Jozef

@Jozef: as simulações apenas percorrer todos cadeias de entrada possíveis de comprimento N . Você pode percorrer mais strings, mas não aprenderá mais nada, porque apenas os primeiros N símbolos são importantes. A razão pela qual ela não pode ir além das N células é porque as máquinas de Turing (ou a definição padrão delas de qualquer maneira) movem apenas uma célula por etapa.

— Niel de Beaudrap 9/08/12

Certo, entendi. assim, você se importa apenas com os primeiros N símbolos de cada palavra e, assim, verifica todas as combinações delas. por que você excluiu a descrição das configurações?

— Jozef

Ainda está visível se você olhar as edições anteriores. I revisto para isso porque, enquanto a outra resposta foi talvez interessante, muito do que fez "interessante" só serviu para obscurecer o fato de que o procedimento de decisão não é mais nem menos do que simula

em todas as entradas possíveis de comprimento

. Achei melhor revisar a resposta para algo muito mais direto e que basicamente chegou à raiz do que torna o problema decidível.

M

$M$

N

$N$

— Niel de Beaudrap 9/08/12

Se parar em não mais que 50 passos, as posições que pode alcançar na fita normalmente infinita são limitadas. Assim, a fita infinita pode ser simulada por uma fita finita. Isso significa que a fita pode ser simulada por um autômato finito. Daqui resulta que uma máquina de turing que para em não mais do que 50 etapas é bimimilar de algum autômato finito . $M$ $M$ $M$ $M'$

Seja o conjunto de estados de , o conjunto de estados aceitantes e seja o alfabeto. Em seguida, vamos construir o conjunto de estados de da seguinte forma: $Q$ $M$ $F \subset Q$ $\Gamma$ $Q'$ $M'$ onde é a posição da cabeça de leitura / gravação acima da fita. Podemos restringir a posição para porque o número de etapas de computação permitidas limita o número de posições alcançáveis. $Q' = \{ \langle n, q, s, p, a\rangle \, | n \in \{0,...,50\} \, q \in Q, s \in \Gamma, p \in \{-50,...,50\}, a \equiv q \in F\}$ $p$ $\{-50,...,50\}$

Tendo um estado do autómato finito , em seguida, significa que estamos em estado do autómato original, com sobre a fita na posição , onde também a cabeça de leitura / gravação está posicionado , após a ésima etapa da computação. O estado é um um aceitar se . $\langle n, q, s, p, a\rangle$ $M'$ $q$ $s$ $p$ $n$ $a \equiv true$

Transformar a relação de transição de uma máquina de turing de concreto é um pouco mais trabalhoso, mas não é necessário para a pergunta original, pois basta mostrar que o espaço de estados é finito (e, portanto, podemos apenas testar cada entrada com um comprimento máximo de 50 símbolos em cada um desses autômatos). A ideia é a construção de uma nova relação de transição que vai de um estado para um estado no $\langle n, q, s, p, a \rangle$ $\langle n+1, q', s', p', a'\rangle$ $n$ -ésima etapa sse a transição de computação estava na relação de transição inicial. $\langle q, s, p\rangle \rightarrow \langle q', s', p'\rangle$

— swegi
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Como você simula o armazenamento na fita, ou seja , a capacidade de revisitar símbolos que você já leu, em um autômato finito?

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap: Você enumera todo o espaço de estados, ou seja, faz a verificação do modelo da fita finita e do autômato de controle da máquina de turing.

— swegi

Dado que o OP está fazendo perguntas básicas de computabilidade para as Máquinas de Turing, convém descompactar esse esboço em algo mais completo. (Eu mesmo nunca ouvi a frase "verificação de modelo" em um contexto computacional antes.) No contexto, eu normalmente assumia por 'autômato finito' que você significaria um DFA ou similar, a menos que especificasse o contrário, e não está claro para mim o que corresponderia à contribuição do DFA nessa construção. Se você apenas quer dizer um gráfico representando possíveis trajetórias da MT, eu concordo.

— Niel de Beaudrap 9/08/12

Com o modelo verificando a parte finita da fita, quero dizer basicamente o que você escreveu em sua resposta: basta testar cada entrada de tamanho no máximo 50 e verificar se é atingido um estado de aceitação.

— swegi

Eu gostaria que as pessoas parassem de propagar o mito de que uma fita de máquina de Turing precisa ser infinita. Não - pode ser finito desde que seja estendido conforme necessário.

— Reinierpost