É decidível se uma TM atinge alguma posição na fita?

Eu tenho essas perguntas de um exame antigo que estou tentando resolver. Para cada um dos problemas, a entrada é uma codificação de uma máquina de Turing .$M$

Para um número inteiro e os três problemas a seguir:$c>1$

1. É verdade que, para cada entrada , M não passa na posição ao executar ?| x | + c $x$$|x|+c$$x$

2. É verdade que, para cada entrada , M não passa na posição ao executar x ?max { | x | - c , 1 } $x$$\max \{|x|-c,1 \}$$x$

3. É verdade que, para cada entrada $x$ , M não passa na posição $(|x|+1)/c$ ao executar em $x$ ?

Quantos problemas são decidíveis?

O número do problema (1), na minha opinião, está em $\text {coRE} \smallsetminus \text R$ se entendi correto, pois posso executar todas as entradas em paralelo e parar se alguma entrada chegou a essa posição e por mostrar que não é em $\text R$ eu posso reduzir o complemento de Atm . Construo uma máquina de Turing $M'$ seguinte maneira: para uma entrada $y$ , verifico se $y$ é um histórico de computação, se for, então $M'$ funcionando corretamente e não para, se não for, para.

Para (3), acredito que seja decidível, pois para $c \geqslant 2$ são todas as máquinas de Turing que sempre ficam na primeira célula da faixa, pois para uma sequência de um caractere pode passar pela primeira célula, então eu preciso simular todas as cadeias de comprimento 1 para as etapas $|Q|+1$ (isso está correto?) e ver se estou usando apenas a primeira célula em todas elas.

Eu realmente não sei o que fazer com (2).

Qualquer situação que indique se uma Máquina de Turing está confinada a uma seção finita da fita (digamos, do comprimento ) em uma determinada entrada é decidível.$n$

O argumento funciona da seguinte maneira. Considere a máquina de Turing, a fita e a posição da máquina de Turing na fita. Juntos, eles têm um número finito de configurações. Para ser específico, existem apenasconfigurações possíveis. é o conjunto de símbolos da fita e é o conjunto de estados. Continuarei a usar a palavra "configuração" para descrever o estado da Máquina de Turing combinado com o estado da fita e sua posição na fita pelo restante desta resposta, mas esse não é o vocabulário padrão.Γ $t = n|\Gamma|^n|Q|$$\Gamma$$Q$

Execute a máquina, acompanhando todas as suas configurações anteriores. Se alguma vez ultrapassar o ponto , retorne "sim, passa à posição ". Caso contrário, a máquina está em algum lugar entre 0 e . Se a máquina repetir uma configuração - seu estado, os símbolos na fita e sua posição na fita são idênticos aos que eram antes - retornam "não, nunca passa na posição ".M n n M $n$$M$$n$$n$$M$$n$

Pelo princípio pidgeonhole, isso deve acontecer em não mais que etapas. Portanto, tudo o que foi dito acima é decidível; depois de no máximo etapas simuladas, você obtém uma resposta.t + $t+1$$t+1$

Uma observação rápida sobre por que isso funciona: quando a máquina, a fita e sua posição na fita se repetem, deve ter havido uma sequência de configurações entre essas repetições. Essa sequência acontecerá novamente, levando à mesma configuração mais uma vez - a máquina está em um loop infinito. Isso ocorre porque estamos acompanhando todos os aspectos da máquina de Turing; nada fora da configuração pode ter impacto no que aconteceu. Portanto, quando uma configuração se repete, ela se repete novamente, com uma série idêntica de configurações no meio.

Portanto, é possível limitar a fita a uma parte finita da corda. Portanto, iterando sobre todas as sequências de entrada possíveis, o problema está em para as três perguntas. Você já deve ter percebido isso (entre suas idéias para 1 e 3 e a resposta de Ran G para 2 parece resolvida completamente de qualquer maneira), mas achei que talvez valesse a pena postar.$\text{coRE}$

(2) é muito semelhante a (3) e o mesmo raciocínio que você tinha para (3) também se aplica aqui: observe que as máquinas que em têm uma propriedade estranha - elas não leem toda a entrada (elas nunca atingem sua últimos c bits.) E isso é verdade para todas as entradas.$L_2$$c$

Ok, agora vamos considerar apenas entradas até o comprimento . Para cada uma delas, existem apenas duas opções: a máquina faz um loop / pára sem mover a cabeça ou move a cabeça. Se mover a cabeça em algum x (com | x | ≤ c ), essa máquina não está em L 2 devido a essa entrada x . Caso contrário, afirmo que a máquina está em L 2 . Como ele nunca move a cabeça - não tem idéia de qual é o tamanho da entrada! isso significa que se comporta da mesma forma para todas as entradas de comprimento | x | > C . Portanto, L 2 é decidível.$c$$x$$|x|\le c$$L_2$$x$$L_2$$|x|>c$$L_2$